Pi

Izvor: Wikipedia
Disambig.svg Za ostala značenja v. Pi (razvrstavanje).
Malo pi

Matematička konstanta π se često koristi u matematici i fizici. 'π' je malo slovo grčkog alfabeta i menja se sa pi kada je nedostupno. U euklidskoj planimetriji, π se može definisati kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao površina kruga poluprečnika 1 (jediničnog kruga). Većina novijih udžbenika definiše π analitički, koristeći trigonometrijske funkcije, na primer kao najmanje pozitivno x za koje je sin(x) = 0, ili kao dva puta najmanje pozitivno x za koje je cos(x) = 0. Sve ove definicije su ekvivalentne.

π je takođe poznato i kao Arhimedova konstanta (ne treba mešati sa Arhimedovim brojem) i Ludolfov broj.

Numerička vrednost π zaokružena na 64 decimalna mesta je:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923


Osobine[uredi - уреди]

π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cela broja. Ovo je dokazao Johan Hajnrih Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand fon Lindeman 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je π koren.

Važna posledica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti π koristeći samo konačan broj celih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke (1,0) na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korišćenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

Formule sa π[uredi - уреди]

Geometrija[uredi - уреди]

π se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.

Geometrijski oblik Formula
obim kruga poluprečnika -{r}- i prečnika -{d}- O = \pi d = 2 \pi r \,\!
Površina kruga poluprečnika -{r}- P = \pi r^2 \,\!
Površina elipse sa poluosama -{a}- i -{b}- P = \pi a b \,\!
Zapremina kugle poluprečnika -{r}- V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!
Površina kugle poluprečnika -{r}- P = 4 \pi r^2 \,\!
Zapremina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}- V = \pi r^2 H \,\!
Površina valjka visine -{H}- i poluprečnika -{r}- P = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) H = 2 \pi r (r + H) \,\!
Zapremina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}- V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \,\!
Površina kupe visine -{H}- i poluprečnika -{r}- P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!

Takođe, ugao od 180° (u stepenima) iznosi π radijana.


Analiza[uredi - уреди]

Dosta formula u analizi sadrži π, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}
 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
i, uopšte, \zeta(2n) je racionalni umnožak broja \pi^{2n} za svako prirodno n.
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
e^{i \pi} + 1 = 0\;
\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2
  • Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}

Kompleksna analiza[uredi - уреди]

e^{i\pi}\,\!+1=0
\oint\frac{dz}{z}=2\pi i

Verižni razlomak[uredi - уреди]

π ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je na primer:

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}

Teorija brojeva[uredi - уреди]

Neki rezultati iz Teorije Brojeva:

Ovde, "verovatnoća", "prosek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrednosti; tj. posmatra se verovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva -{ {1,2, ... N} }-, a zatim uzima granična vrednost te verovatnoće kada -{N→∞}- (-{N}- je "jako veliko").


Dinamički sistemi/Ergodička teorija[uredi - уреди]

U teoriji dinamičkih sistema (vidi takođe ergodička teorija), za skoro svako realno -{x0}- u intervalu [0,1],

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,,

gde su -{xi}- iterirane vrednosti logističkog preslikavanja za -{r = 4}-.

Fizika[uredi - уреди]

U fizici, pojava broja π u formulama je najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primer, korišćenjem uprošćene Plankove konstante  \hbar = \frac{h}{2\pi} može se izbeći pisanje broja π eksplicitno u velikom broju formula u kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bazičnija, a prisustvo faktora 1/2π u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

 \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
 \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}\,

Verovatnoća i statistika[uredi - уреди]

U verovatnoći i statistici postoji puno raspodela, čiji analitički izrazi sadrže π, uključujući:

f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}
f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}

Treba primetiti da se, kako je \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 za svaku Funkciju gustine raspodele verovatnoće -{f(x)}-, pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za π.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja π zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine -{L}- baca na ravan na kojoj su označene dve paralelne prave na međusobnom rastojanju -{S}- (gde je -{S}->-{L}-). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj -{(n)}- puta, od kojih se x puta zaustavi tako da seče jednu od pravih, onda približnu vrednost broja π možemo dobiti korišćenjem formule

\pi \approx \frac{2nL}{xS}


Istorija[uredi - уреди]

Simbol "π" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar Vilijam Džouns kada je objavio Novi uvod u matematiku (-{A New Introduction to Mathematics}-), mada je isti simbol još ranije korišćen da naznači obim kruga. Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonard Ojler. U oba slučaja, 'π' je prvo slovo reči περιμετρος (perimetros), što znači 'meriti okolo' na grčkom jeziku.

Evo kratke hronologije broja π:

Vreme Osoba Vrednost π
(svetski rekordi su masni)
20. vek pne. Vavilonci 25/8 = 3.125
20. vek pne. Egipatski matematički papirus (Rajndov papirus) (16/9)² = 3.160493...
12. vek pne. Kinezi 3
sredina 6. veka pne. 1 Kraljevi 7:23 3
434. pne. Anaksagora je pokušao da kvadrira krug lenjirom i šestarom  
3. vek pne. Arhimed 223/71 < π < 22/7
(3.140845... < π < 3.142857...)
20. pne. Vitruvije 25/8 = 3.125
130 Čang Hong √10 = 3.162277...
150 Ptolomej 377/120 = 3.141666...
250 Vang Fau 142/45 = 3.155555...
263 Liu Hui 3.14159
480 Zu Čongži 3.1415926 < π < 3.1415927
499 Arjabhata 62832/20000 = 3.1416
598 Bramagupta √10 = 3.162277...
800 Muhamed Al Horezmi 3.1416
12. vek Baskara 3.14156
1220 Fibonači 3.141818
1400 Madava 3.14159265359
Svi podaci od 1424. su dati u brojevima tačnih decimalnih mesta (dm).
1424 Džamšid Masud Al Kaši 16 dm
1573 Valentus Oto 6 dm
1593 Fransoa Vijet 9 dm
1593 Adrijen van Romen 15 dm
1596 Ludolf van Cojlen 20 dm
1615 Ludolf van Cojlen 32 dm
1621 Vilebrord Snel (Snelije), Ludolfov učenik 35 dm
1665 Isak Njutn 16 dm
1699 Abraham Šarp 71 dm
1700 Seki Kova 10 dm
1706 Džon Mejčin 100 dm
1706 Vilijam Džouns uveo grčko slovo 'π'  
1730 Kamata 25 dm
1719 De Lanji izračunao 127 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna 112 dm
1723 Takebe 41 dm
1734 Leonard Ojler usvojio grčko slovo 'π' i obezbedio njegovu popularnost  
1739 Macunaga 50 dm
1761 Johan Hajnrih Lambert dokazao da je π iracionalan broj  
1775 Ojler ukazao na mogućnost da bi π mogao biti transcendentan  
1789 Jurij Vega izračunao 140 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna 137 dm
1794 Adrijan-Mari Ležandr pokazao da je i π² (pa samim tim i π) iracionalan, i spominje mogućnost da je π moguće transecedentan.  
1841 Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna 152 dm
1844 Zaharija Daze i Štrasnicki 200 dm
1847 Tomas Klauzen 248 dm
1853 Leman 261 dm
1853 Raderford 440 dm
1853 Vilijam Šenks 527 dm
1855 Rihter 500 dm
1874 Vilijam Šenks je posvetio 15 godina izračunavanju 707 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna (grešku je otkrio D. F. Ferguson 1946. godine) 527 dm
1882 Lindeman dokazao da je π transcedentan (Lindeman-Vajerštrasova teorema, koju neki zovu i "najlepšom teoremom cele matematike")  
1946 D. F. Ferguson koristeći stoni kalkulator 620 dm
1947 710 dm
1947 808 dm
Svi rekordi od 1949. nadalje izračunati su pomoću elektronskih računara.
1949 DŽ. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit bili su prvi koji su koristili elektronski računar (Enijak) da izračunaju π 2,037 dm
1953 Maler pokazao da pi; nije Liuvilov broj  
1955 DŽ. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit 3,089 dm
1961 100,000 dm
1966 250,000 dm
1967 500,000 dm
1974 1,000,000 dm
1992 2,180,000,000 dm
1995 Jasumasa Kanada > 6,000,000,000 dm
1997 Kanada i Takahaši > 51,500,000,000 dm
1999 Kanada i Takahaši > 206,000,000,000 dm
2002 Kanada i tim > 1,240,000,000,000 dm
2003 Kanada i tim > 1,241,100,000,000 dm
April 2004 Kanada i tim  1.3511 bilion cifara ukupno


Numeričke aproksimacije broja π[uredi - уреди]

Zbog transcedentne prirode broja π, ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za π. Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrednosti (aproksimacije) broja. Za puno potreba, 3.14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3.1416 ili 3.14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih brojki, se dobijaju iz jednostavnog razvoja π u verižni razlomak.

Pored toga, sledeća numerička formula daje aproksimaciju π sa 9 ispravnih cifara:

(63/25)((17+15\sqrt 5)/(7+15\sqrt5))

Egipatski pisar po imenu Ahmes je izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja π. Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda—mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva—i opisuje vrednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podeljeno sa 81, tj. 3.160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao π do 3.141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3.14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za π. On je napisao: "Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdesetdvehiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadesethiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika." Drugim rečima, (4+100)×8 + 62000 je obim kruga prečnika 20000. Ovo daje vrednost π = 62832/20000 = 3.1416, tačnu kada se zaokruži na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao π do 3.1415926–3.1415927, i dao dve aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. veku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kašani (13501439) je izračunao π do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2 π = 6.2831853071795865

Nemački matematičar Ludolf van Cojlen (oko 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.

Slovenački matematičar Jurij Vega je 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svetski rekord 52 godine—sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu Džona Mejčina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrednosti broja π. Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Mejčinove:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

zajedno sa Tejlorovim razvojem funkcije -{arctan(x)}-. Ova formula se najlakše proverava korišćenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244i.

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Mejčinovoj.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja π se po pravilu računaju Gaus-Ležandrovim algoritmom i Borvajnovim algoritmom; Salamen-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine je takođe korišćen u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva π i 1/π su dostupni na Projektu Gutenberg (vidi spoljne veze dole). Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1 241 100 000 000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitači superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korišćenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korišćene su sledeće formule slične Mejčinovoj:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443} –K. Takano (1982).
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943} –F. C. V. Štermer (1896).

Ove približne vrednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja π.

1996. godine Dejvid H. Bejli je, zajedno sa Piterom Borvajnom i Sajmonom Plufeom, otkrio novu formulu za π u obliku zbira beskonačnog reda:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)

Ova formula omogućava da se lako izračuna -{k}-ta binarna ili heksadecimalna cifra broja π bez potrebe za računanjem prethodnih -{k}- − 1 cifara. Bejlijeva veb-strana sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. PiHeks projekat je izračunao 64-bite oko milijarditog bita broja π (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korišćene za izračunavanje približnih vrednosti π uključuju:


\frac{\pi}{2}=
\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=
1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)
Njutn.
 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} Ramanudžan.
 \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} David Čudnovski i Grigorij Čudnovski.
{\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79} Ojler.

Na računarima sa Majkrosoft Vindous operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja π izračunat na kućnom računaru je 25 000 000 000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.


Otvorena pitanja[uredi - уреди]

Otvoreno pitanje o ovom broju koje naviše pritiska jeste da li je π normalan broj—da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno "nasumično". Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10). Sadašnje znanje u ovom smeru je veoma oskudno; na primer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0,...,9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.

Bejli i Krendal su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bejli-Borvajn-Plufe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja π i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa. Za pojedinosti, pogledajte gore navedeni Bejlijev sajt.

Takođe nije poznato da li su π i e algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

Džon Harison (16931776) je stvorio muzički sistem izveden iz π. Ovaj Lusi tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja π) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korišćenjem π mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

Priroda broja π[uredi - уреди]

U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od π radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se takođe razlikovati od π. Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se π pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na π; π nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih merenja. Razlog zašto se π pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primer, Kulonov zakon:

 F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2} .

Ovde, 4 \pi  r^2\, je naprosto površina lopte poluprečnika -{r}-. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja -{r}- od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne—ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao  F = \frac{q_1 q_2}{r^2} čime se uklanja potreba za π.


Spominjanja u fikciji[uredi - уреди]

π kultura[uredi - уреди]

Postoji celo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korišćenje mnemonika za lakše pamćenje cifara π i zove se pifilologija. Pogledajte Pi mnemonike za primere na engleskom jeziku.

14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg prosavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).

Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi sati" (3:14:15 je malo manje od pi sati; 3:08:30 bi bilo najbliže broju π sati posle podneva ili ponoći u celim sekundama).

Još jedan primer matematičkog humora je sledeća aproksimacija π: Uzmite broj "1234", zamenite mesta prvim dvema i poslednjim dvema ciframa, tako da broj postaje "2143". Podelite taj broj sa "dva-dva" (22, pa je 2143/22 = 97.40909...). Uzmite dvo-kvadratni koren (četvrti koren) od ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu π: 3.14159265.

Vidi još[uredi - уреди]


Vanjske veze[uredi - уреди]

Cifre[uredi - уреди]

Proračuni[uredi - уреди]

Opšti[uredi - уреди]

Mnemonici[uredi - уреди]

(Svi mnemonici su na engleskom jeziku.)