Trigonometrijske funkcije

Izvor: Wikipedia

Trigonometrijske funkcije su funkcije ugla. Dobile su ime po grani matematike koja ih koristi za rešavanje trouglova, a koja se naziva trigonometrija.

Kada je ugao, dakle argument ovih funkcija realan broj, tada su to funkcije ravninske trigonometrije: sinus i kosinus, od kojih se izvode sve ostale. Od ostalih osnovnih funkcija ugla često su u upotrebi tangens, pa i kotangens, zatim, malo ređe se sreću kosekans i sekans, i konačno najređe sinus versus i kosinus versus. Kada je ugao kompleksan broj tada funkcije ugla mogu preći u hiperboličke funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije zovu se ciklometrijske funkcije i arkus-funkcije.

Definicije[uredi - уреди]

Datoteka:Trig-funkcije1.gif
Sl.1. Trigonometrijski trougao

Osnovne trigonometrijske funkcije sinus, kosinus i tangens se obično definšu pomoću pravouglog trougla, slika desno.

x = r\cdot\cos\phi,\; y = r\cdot\sin\phi,\; \frac{y}{x}=\operatorname{tg}\phi.

Pozitivan matematički ugao ima suprotan smer od kazaljke na satu, slično kao i kretanje Sunca u odnosu na sunčevu senku na slici 2.

Datoteka:Kretanje-sunca.gif

Trigonometrijska kružnica[uredi - уреди]

Na slici (3) dole je kružnica poluprečnika jedan sa centrom u ishodištu, tj. x^2+y^2=1, koja se zove trigonometrijska kružnica. U sledećoj definiciji i teoremi (1), tangens i kotangens (b) se u anglosaksonskim zemljama označavaju tan i cot, kosekans (v) se i kod nas i vani ponekad označava cosec.

Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla φ definišu se jednakostima
(a) \cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\, sinus i kosinus su realni brojevi;
(b) \operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}, tangens i kotangens;
(v) \sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi}, sekans i kosekans.
(g) \operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi, kosinus versus i sinus versus.

Funkcije (v), a naročito (g) retko srećemo.

Teorema 1
(a) \overline{OA} = \cos\phi,\; \overline{OC} = \sin\phi, kosinus i sinus;
(b) \overline{BE}=\operatorname{tg}\phi,\; \overline{FG}=\operatorname{ctg}\phi, tangens i kotangens;
(v) \overline{OE}=\sec\phi,\; \overline{OG}=\csc\phi, sekans i kosekans.
Dokaz
Tačka T sa slike 1. ovde (sl.2.) je tačka D.
(a) Sledi neposredno zbog poluprečnika r = 1.
(b) Uočimo slične trouglove \Delta EBO\sim\Delta DAO, odakle \overline{BE}:\overline{OB}=\overline{AD}:\overline{OA}, tj. \overline{BE}:1=\sin\phi:\cos\phi; uočimo slične trouglove \Delta GFO\sim\Delta OAD, odatle \overline{FG}:\overline{FO}=\overline{OA}:\overline{AD}, tj. \overline{FG}:1=\cos\phi:\sin\phi.
(v) Iz istih sličnih trouglova (b) dobijamo \overline{OE}:\overline{OB}=\overline{OD}:\overline{OA}, tj. \overline{OE}:1=1:\cos\phi; zatim \overline{OG}:\overline{OF}=\overline{OD}:\overline{AD}, tj. \overline{OG}:1=1:\sin\phi. Kraj dokaza.

Posebni uglovi[uredi - уреди]

Na prethodnoj slici (3) predstavljen je Dekartov pravougli sistem koordinata i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Ugao BOD = φ može neograničeno rasti dok pokretni krak ugla (OD) prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ može rasti do 360° i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvek računaju kao kosinus i sinus ugla φ. To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka -{D}- u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka -{D}- u prvom i drugom kvadrantu. Detaljno to vidimo u sledećoj tabeli:

Trigonometrijske funkcije po kvadrantima
Kvadrant 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
sinus + + - -
kosinus + - - +
tangens + - + -

Takođe je lako proveriti tačnost formula za svođenje vrednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

\cos(180^o-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o-\phi)=\sin\phi,
\cos(180^o+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(180^o+\phi)=-\sin\phi,
\cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.

Funkcije kosinus i sinus su periodične sa osnovnim periodom 360°, a funkcija tangens je periodična sa periodom 180°:

\cos(360^o+\phi)=\cos\phi,\; \sin(360^o+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(180^o+\phi)=\operatorname{tg}\phi.

Funkcije uglove većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant. Zato su veoma važne trigonometrijske tablice uglova iz prvog kvadranta. Za neke od tih uglova se funkcije lakše izračunavaju:

Najčešće vrednosti trigonometrijskih funkcija
\phi\, 30° 45° 60° 90°
\sin\phi\, 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos\phi\, 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
\operatorname{tg}\phi 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \pm\infty

Jedan od načina izračunavanja ovih vrednosti je prikazan u pregledu osnovnih uglova. Iz tabele se vidi da su već kod "osnovnih" uglova trigonometrijske funkcije iracionalni brojevi i da bi slični izrazi za druge uglove mogli biti još složeniji. Jednostavniji od tih složenijih izraza bio bi, na primer \sin 15^o=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}, i to je najmanji ugao čiji se sinus može predstaviti pisanjem proste algebarske kombinacije racionalnih brojeva i korenova. Vekovima su trigonometrijske vrednosti zapisivane u trigonometrijske tablice, na 5 do 10 decimala, a u poslednje vreme koristi se skoro isključivo računar ili kalkulator.

Kada tačka -{D}- jednom obiđe kružnicu pređe put 2π odnosno napravi 360°. Luk dužine π odgovara uglu 180° - ispruženi ugao, π/2 je 90° - pravi ugao, π/3 je 60°, π/4 je 45°, π/6 je 30°, i uopšte luk dužine x radijana odgovara uglu 360x/2π stepeni. Za jedan radijan, h = 1, dobija se ugao 57,2957795... stepeni, tj. u stepenima, minutama i sekundama 57°17'44,8". Jedan stepen ima 60 minuta, a jedna minuta ima 60 sekundi. Izrazi minute i sekunde potiču od latinskih reči: -{partes minutae primae}- i -{partes minutae secundae}-, tj. prvi mali delovi i drugi mali delovi. Matematički tekstovi za jedinicu ugla podrazumevaju radijan.

Redovi[uredi - уреди]

Trigonometrijske funkcije se, takođe, mogu predstavljati (beskonačnim) redovima:

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.

Osobine[uredi - уреди]

Pregled skoro svih osobina trigonometrijskih funkcija koje se tiču rešavanja trouglova dat je u prilogu: ravninska trigonometrija. U posebnom prilogu mogu se pronaći dokazi za adicione formule, gde spadaju i formule za dvostruke uglove, zatim polovine uglova, te predstavljanje zbira i razlike trigonometrijskih funkcija pomoću proizvoda i obratno, i izražavanje ostalih trigonometrijskih funkcija pomoću tangensa polovine ugla. Inače je

\sin x = \frac{\operatorname{tg}x}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}},\quad \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2x}}.

Takođe, u posebnom prilogu se nalaze trigonometrijske jednačine. Ono što sledi jesu dodatne, analitičke osobine funkcija, i neki dokazi.

Granična vrednost[uredi - уреди]

Na slici (4) levo vidimo tetivu \overline{DAH} koja je sigurno kraća od luka \widehat{DBH}. Tetiva je najkraće rastojanje između dve tačke na kružnici. Zato je polutetiva \overline{DA} kraća od poluluka \widehat{DB}. Trougao OAD, sa oštrim uglom φ je pravougli. Pravi ugao je u temenu A, kateta OA iznosi \cos\phi, kateta DA iznosi \sin\phi, hipotenuza je dužine jedan. Kada je ugao u radijanima i 0<\phi<\frac{\pi}{2}, tada je

Teorema 1
\lim_{\phi\to 0}\sin\phi=0,\;\lim_{\phi\to 0}\cos\phi=1.

Dokaz: Sledi iz 0<\sin\phi<\widehat{DB}=\phi i 0<1-\cos\phi<\overline{AB}<\overline{DB}<\widehat{DB}=\phi. Kraj.

Kada ugao teži nuli preko pozitivnih vrednosti, sinus je tada pozitivan, a negativan je kada ugao teži nuli preko negativnih vrednosti. Naprotiv, kosinus je u oba slučaja pozitivan. Iz toga proizilaze limesi za kotangens: \lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty. Zamenom h sa komplementnim uglom dobićete odgovarajuće limese za tangens.

Datoteka:Trigonom-krug.gif
Sl.5. Trigonometrijski krug
Teorema 2
\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Dokaz
Na slici (5) desno, površina pravouglog trougla OAD manja je od površine kružnog isečka OBD, a ova opet manja od površine pravouglog trougla OBE. Nazovimo sa h ugao BOE. Otuda \frac{\sin x\cos x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\operatorname{tg}x}{2}. Podelimo li ove nejednakosti sa (pozitivnim) \frac{\sin x}{2}, dobićemo \cos x<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}, a otuda \frac{1}{\cos x}>\frac{\sin x}{x}>\cos x. Sa x\to 0 vredi \cos x\to 1,\; \frac{1}{\cos x}\to 1, pa je \frac{\sin x}{x}\to 1. Sinus je parna funkcija pa je dokaz za negativne uglove isti. Kraj dokaza.

Izvod[uredi - уреди]

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrednost: f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

Teorema 3
(a) (\sin x)'=\cos x,\,
(b) (\cos x)'=-\sin x,\,
(v) (\operatorname{tg}x)'=\sec^2x.\,
Dokaz
(a) \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}, pa je
\frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\rightarrow\cos x, kada \Delta x\rightarrow 0 (teorema 2).
(b) Zbog \cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x), biće (\cos x)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)'=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin x.
(v) Izvod količnika (\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=
=\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x. Kraj dokaza 3.

Vidi još[uredi - уреди]