Stepenovanje

Izvor: Wikipedia
Disambig.svg
Za ostale upotrebe, pogledajte Stepen (višeznačna odrednica).


Stepenovanje ili potenciranje je matematička binarna operacija, u zapisu ab. U ovom zapisu a se naziva osnova, a b eksponent. Čita se „a na b-ti stepen“ ili kraće „a na b“, gde je a kardinalni, a b redni (ordinalni) broj; na primer, 57 se čita „pet na sedmi (stepen)“.

Ako je n ∈ ℕ, onda stepen predstavlja osnovu pomnoženu samom sobom n puta:

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.

Osobine stepenovanja[uredi - уреди]

Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. abc znači a(bc), a ne (ab)c.

Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno (23 = 8 ≠ 32 = 9), niti asocijativno a^{(b^c)} \ne {(a^b)}^c.

  1. ac · bc = (a · b)c
  2. ab · ac = ab + c
  3. ab : ac = abc (za a ≠ 0)
  4. (ab)c = ab · c

Posledica osobine 3 su

  • a0 = abb = ab : ab = 1
  • ab = a0 − b = 1 / ab

čime se, polazeći od definicije stepenovanja sa eksponentom koji je prirodan (odnosno pozitivan ceo) broj, definiše stepenovanje za svaki celobrojni eksponent.

Stepenovanje sa necelobrojnim eksponentima[uredi - уреди]

Racionalni eksponent[uredi - уреди]

Po definiciji,

a^{1/b} = \sqrt[b]{a}

Neka je eksponent b ∈ ℚ racionalan broj. Tada se može napisati b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, pri čemu je

a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p

Kako parni korenovi negativnih brojeva nisu definisani, to nije definisano ni a^{p/q} za parno q i negativno a.

Iracionalni eksponent[uredi - уреди]

Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj. Tada je vrednost ab definisana samo za a ∈ ℝ+, kao granična vrednost

\lim_{p/q\to b}a^{p/q}

stepena ap / q sa racionalnim eksponentima p / q, koji teže ka datom eksponentu b.

Konkretna numerička vrednost računa se preko približnih vrednosti, sa željenom preciznošću eksponenta. Npr, ako je x = aπ, tada je a3,141 < x < a3,142.

Stepenovanje kompleksnih brojeva[uredi - уреди]

Glavni članak: Kompleksan broj

Kako se svaki kompleksan broj z ∈ ℂ može zapisati u obliku z = \rho e^{i \phi} (videti Ojlerovu formulu) to važi

z^x = (\rho e^{i \phi})^x = \rho ^ x e^{i x \phi}.

Stepenovanje matrica[uredi - уреди]

Stepenovanje matrica identično je po definiciji stepenovanju realnih brojeva sa prirodnim eksponentima. Definisano je za kvadratne matrice i prirodan broj kao eksponent.

Inverzne funkcije[uredi - уреди]

Iz stepenovanja se mogu izvesti dve funkcije, u zavisnosti od toga da li je nezavisna promenljiva osnova ili eksponent. Prvi slučaj daje stepenu funkciju (y = x^k), a drugi eksponencijalnu funkciju (y = k^x).

Inverzna funkcija stepenoj funkciji je korena funkcija (y = \sqrt[k]{x}).

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija (y = \log_k x).

Vidi još[uredi - уреди]