Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika $a + bi$, gde su a i $b$ realni brojevi, $i$ jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

$(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,$, $(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,$, $\frac{a+bi}{x+yi} = \frac{ax+by}{x^2 +y^2} + \frac{bx-ay}{x^2+y^2} \cdot i$

U kompleksnom broju $z=a+bi$ broj $a$ se naziva realni deo, piše se $a = Re(z)$, a broj $b$ je imaginarni deo, piše se $b = Im(z)$.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz $i$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva $(a,b)$. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,$, $(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$, $\frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2})$.

Par $(0;1)$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom $i$. Iz poslednjih formula proizilazi da je $i^2=-1$. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

$-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1$.

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

$a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,$,

$\rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}$, za $a>0$ i $\phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}$ za $a<0$; kada je $a=0$ onda je $\phi = \frac{ \pi}{2}$, ako je $b>0$ i $\phi =- \frac{ \pi}{2}$, ako je $b<0$. Broj $\rho$ se naziva moduo kompleksnog broja, a $\phi$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

$( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,$ .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva $a,b, \rho,\phi$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora $\rho$ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: $|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}$.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

$e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,$;

tj.

$e^{in\phi}=(\cos\phi+i\sin\phi)^{n} \,$;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa $i$, takvog da je $i^2=-1$.

U Wikimedijinom spremniku nalazi se još materijala vezanih uz temu:

Kompleksan broj