Elipsa

Izvor: Wikipedia
Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)
Elipse.svg

Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.

Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.

Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.

Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.

Analitička definicija[uredi - уреди]

Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:

f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\, (opšta jednačina krive drugog reda)

Koja zadovoljava sledeće uslove:


  1. \Delta = \begin{vmatrix}
  \alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\
  \alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\
  \alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33}
\end{vmatrix} \neq 0


  2. \delta = \begin{vmatrix}
  \alpha _{11} & \alpha _{12} \\
  \alpha _{12} & \alpha _{22} \\
\end{vmatrix} > 0

  3. Za realnu elipsu: T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0
    Za imaginarnu elipsu (prazan skup): T \cdot \Delta > 0

Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:

\alpha _{11} x^2 + \alpha _{22} y^2 - \alpha _{33} = 0\,

Što se može zapisati i kao

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

U ovoj jednačini su -{a}- i -{b}- u stvari veličine poluprečnika elipse.

Površina[uredi - уреди]

Površina elipse je:

P = ab\pi

gde su -{a}- i -{b}- poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.

Ekscentricitet[uredi - уреди]

Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

gde su -{a}- i -{b}- dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa -{c}- označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, -{e}- će biti:

e = \frac{c}{a}

Obim[uredi - уреди]

Obim elipse se može predstaviti na razne načine:

Beskonačni redovi:

O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,

Što je isto što i:

O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}

Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:

O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Koja se takođe može zapisati kao:

O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,

U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:

O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,