Elipsa

Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)

Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.

Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.

Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.

Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.

Analitička definicija

Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:

$f(x,y) = \alpha _{11} x^2 + 2\alpha _{12} xy + \alpha _{22} y^2 + 2\alpha _{13} x + 2\alpha _{23} y + \alpha _{33} = 0\,$ (opšta jednačina krive drugog reda)

Koja zadovoljava sledeće uslove:

1. 
   $\Delta = \begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12} & \alpha _{13} \\ \alpha _{12} & \alpha _{22} & \alpha _{23} \\ \alpha _{13} & \alpha _{23} & \alpha _{33} \end{vmatrix} \neq 0$
   
   
2. 
   $\delta = \begin{vmatrix} \alpha _{11} & \alpha _{12} \\ \alpha _{12} & \alpha _{22} \\ \end{vmatrix} > 0$
   
   
3. Za realnu elipsu: $T \cdot \Delta = (\alpha _{11} + \alpha _{22}) \cdot \Delta < 0$
   Za imaginarnu elipsu (prazan skup): $T \cdot \Delta > 0$

Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:

$\alpha _{11} x^2 + \alpha _{22} y^2 - \alpha _{33} = 0\,$

Što se može zapisati i kao

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

U ovoj jednačini su -{a}- i -{b}- u stvari veličine poluprečnika elipse.

Površina

Površina elipse je:

$P = ab\pi$

gde su -{a}- i -{b}- poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

gde su -{a}- i -{b}- dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa -{c}- označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, -{e}- će biti:

$e = \frac{c}{a}$

Obim

Obim elipse se može predstaviti na razne načine:

Beskonačni redovi:

$O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,$

Što je isto što i:

$O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}$

Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:

$O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

Koja se takođe može zapisati kao:

$O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,$

U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:

$O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,$

U Wikimedijinom spremniku nalazi se još materijala vezanih uz temu:

Elipsa