Tačka (geometrija)

Izvor: Wikipedia

Tačka je u geometriji entitet koji se nalazi u prostoru bez dužine i zapremine. U geometriji jedina informacija koju poseduje tačka je lokacija. Tačke se koriste kao jedan od osnovnih pojmova u geometriji, fizici, vektorskoj grafici i u mnogim drugim poljima. U matematici uopšteno, se smatra da se bilo koja forma prostora sastoji od tačaka kao osnovnih elemenata.

Tačke u Euklidovoj geometriji[uredi - уреди]

Tačka u euklidovoj geometriji nema veličinu, pravac, smer, niti bilo koju drugu osobinu sem položaja. Na početku I knjige[1] Euklidovih Elemenata stoje sledeće definicije:

Definicija 1
Tačka je ono što nema delova.
Definicija 3
Krajevi linije su tačke.

U traženju primata linije i tačke, Euklid navodi da je tačka osnovna, a linija je ono što sadrži tačke, dok Aristotel radije uzima liniju za osnovu, a tačka je ono što je na krajevima linije.

Međutim postoje različiti prevodi i interpretacije Euklidove definicije, među kojima i sledeće: "Tačka je ono što nema pružanje" kao najbolji prevod, ali nedovoljno jasan današnjem čitaocu originalne rečenice

ά Σημετόν έστιν, οϋ μέρος ούθέν

Definicija "Tačka je ono što nema meru" ne bi bila dobra jer tačka ima svoj položaj, a to jeste nekakva mera dužine (udaljenost od neke referentne tačke).

U današnjem jeziku je najprisutnija i terminologiji najbliža sledeća definicija, u smislu interpretacije Euklida

"Tačka je ono što nema dimenzije".

Tačke u Kartezijanskoj geometriji[uredi - уреди]

Lokacija tačke u prostoru može biti opisana sa tri realna broja koji predstavljaju koordinate u trodimenzionalnom prostoru. Na primer:

P = (2,6,9).

Na ovaj način tačka se može opisati i u višedimenzionalnom prostoru. Opis tačke je sličan opisu vektora koji takođe može da postoji u višedimenzionalnom prostoru. Razlika između vektora i tačke je u tome što vektor ima i pravac i dužinu, zato se podrazumeva da je početna tačka vektora (0,0,0).

Tačka u prostoru dimenzije 2 ili veće[uredi - уреди]

Svaka tačka koja pripada prostoru dimenzije -{n}- se da predstaviti sa jednom uređenom -{n}--torkom skalara, koji pripadaju polju skalara nad kojim je izgrađen prostor a predstavljaju njene koordinate u tom prostoru. Tako bi na primer tačka -{P}- iz -{En}- bila predstavljena kao -{P=(P1,P2,...,Pn)}- pri čemu su -{Pi}- iz -{E}-, -{i=1,..,n}-.

Rastojanje između dve tačke[uredi - уреди]

Rastojanje između dve tačke iz prostora -{En}- se u euklidovoj geometriji definiše kao zbir kvadrata razlika njihovih koordinata. Na primer:

A = (A_1,\dots ,A_n), B = (B_1,\dots ,B_n) \in E^n
d(A,B) = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {(A_i-B_i)}^2}} = \sqrt{(A_1-B_1)^2 + \dots + (A_n-B_n)^2}

Bibliografija[uredi - уреди]

  • Anton Bilimović, Euklidovi Elementi, Prva knjiga, SANU, 1949