Euklidski prostor

Izvor: Wikipedia

Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

Definicija[uredi - уреди]

Neka je V realni vektorski prostor i neka je \psi: V\times V \to \mathbb{R} preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo v\cdot w umjesto \psi (v,w)) za svaki u, v, w, \in V i  \alpha \in \mathbb{R}  :

  1.  v\cdot w = w \cdot v;
  2.  (u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w;
  3.  \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w = v\cdot (\alpha w);
  4.  w\cdot w > 0 \mbox{ ako i samo ako je } v\neq 0.

Tada se \psi zove skalarni produkt na V .

Ako na V postoji skalarni produkt, onda se V zove euklidski vektorski prostor.

Euklidska norma[uredi - уреди]

Euklidska norma ili duljina vektora w je broj

 \| w \| = \sqrt{w\cdot w}.

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem \varphi :

 v\cdot w = \| v \| \cdot \| w \| \cdot \cos \varphi,

tj. kut \varphi između vektora v, w \in V definiran je s

\varphi = \arccos \left( \frac{v\cdot w}{\| v \| \cdot \| w \|} \right) .

Ako je v\cdot w = 0 , očito je \varphi = \frac{\pi}{2} , pa kažemo da su v i  w okomiti ili ortogonalni vektori.

Vezani pojmovi[uredi - уреди]