Stepenovanje

Za ostale upotrebe, pogledajte Stepen (višeznačna odrednica).

Stepenovanje ili potenciranje je matematička binarna operacija, u zapisu a^b. U ovom zapisu a se naziva osnova, a b eksponent. Čita se „a na b-ti stepen“ ili kraće „a na b“, gde je a kardinalni, a b redni (ordinalni) broj; na primer, 5⁷ se čita „pet na sedmi (stepen)“.

Ako je n ∈ ℕ, onda stepen predstavlja osnovu pomnoženu samom sobom n puta:

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.$

Osobine stepenovanja

Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. a^bc znači a^(bc), a ne (a^b)^c.

Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno (2³ = 8 ≠ 3² = 9), niti asocijativno $a^{(b^c)} \ne {(a^b)}^c$.

1. a^c · b^c = (a · b)^c
2. a^b · a^c = a^{b + c}
3. a^b : a^c = a^{b − c} (za a ≠ 0)
4. (a^b)^c = a^{b · c}

Posledica osobine 3 su

• a⁰ = a^{b − b} = a^b : a^b = 1
• a^−b = a^{0 − b} = 1 / a^b

čime se, polazeći od definicije stepenovanja sa eksponentom koji je prirodan (odnosno pozitivan ceo) broj, definiše stepenovanje za svaki celobrojni eksponent.

Stepenovanje sa necelobrojnim eksponentima

Racionalni eksponent

Po definiciji,

$a^{1/b} = \sqrt[b]{a}$

Neka je eksponent b ∈ ℚ racionalan broj. Tada se može napisati b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, pri čemu je

$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p$

Kako parni korenovi negativnih brojeva nisu definisani, to nije definisano ni $a^{p/q}$ za parno q i negativno a.

Iracionalni eksponent

Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj. Tada je vrednost a^b definisana samo za a ∈ ℝ⁺, kao granična vrednost

$\lim_{p/q\to b}a^{p/q}$

stepena a^{p / q} sa racionalnim eksponentima p / q, koji teže ka datom eksponentu b.

Konkretna numerička vrednost računa se preko približnih vrednosti, sa željenom preciznošću eksponenta. Npr, ako je x = a^π, tada je a^3,141 < x < a^3,142.

Stepenovanje kompleksnih brojeva

Kako se svaki kompleksan broj z ∈ ℂ može zapisati u obliku $z = \rho e^{i \phi}$ (videti Ojlerovu formulu) to važi

$z^x = (\rho e^{i \phi})^x = \rho ^ x e^{i x \phi}$.

Stepenovanje matrica

Stepenovanje matrica identično je po definiciji stepenovanju realnih brojeva sa prirodnim eksponentima. Definisano je za kvadratne matrice i prirodan broj kao eksponent.

Inverzne funkcije

Iz stepenovanja se mogu izvesti dve funkcije, u zavisnosti od toga da li je nezavisna promenljiva osnova ili eksponent. Prvi slučaj daje stepenu funkciju ($y = x^k$), a drugi eksponencijalnu funkciju ($y = k^x$).

Inverzna funkcija stepenoj funkciji je korena funkcija ($y = \sqrt[k]{x}$).

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija ($y = \log_k x$).

Vidi još

• e – osnova prirodnog logaritma
• Stepena funkcija
• Eksponencijalna funkcija
• Koren
• Logaritamalgoritam