Matematika

Izvor: Wikipedia
Euklid (držeći šubler), grčki matematičar, 3. vek p.n.e., po zamisli Rafaela na slici Atenska škola.[1][2]

Matematika (od grčkog korijena mathema što znači nauka[3]), je nauka koja izučava aksiomatski definisane apstraktne strukture koristeći logiku.[4] Izučavane strukture najčešće potiču iz drugih prirodnih nauka, najčešće fizike, ali neke od struktura su definisane i izučavane radi internih razloga.[5][6][7]

Istorijski, matematika se razvila iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji, i ove tri primjene se mogu dovesti u vezu sa grubom podjelom matematike u izučavanje strukture, prostora i izmjena.[8]

Izučavanje strukture počinje sa brojevima, u početku sa prirodnim brojevima i cijelim brojevima.[9] Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva cijelih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rješavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture koje generalizuju osobine koje posjeduju brojevi.[10] Fizikalno važan koncept vektora se izučava u linearnoj algebri.

Izučavanje prostora je počelo sa geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Razumjevanje i opisivanje izmjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih nauka, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe.[11] Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, i metodi razvijeni pri tome, se izučavaju u diferencijalnim jednačinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je skoncetrisana na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.[12]

Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Važna oblast primjenjene matematike je vjerovatnoća i statistika koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Oblasti proučavanja[uredi - уреди]

Nauka o brojevima[uredi - уреди]

Matematika se bavi proučavanjem brojeva. Njihovim proučavanjem je započeto i proučavanje struktura. Od svih skupova brojeva, najpre su formirani i proučavani prirodni brojevi, a zatim celi brojevi. Formirani su realni brojevi, kao brojeve koji predstavljaju kontinualne veličine. Iz matematičkih razloga uveden je koncept kompleksnih brojeva.

1, 2, 3,\ldots\! \ldots,-2, -1, 0, 1, 2\,\ldots\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Prirodni brojevi Celi brojevi Racionalni brojevi Realni brojevi Kompleksni brojevi

Počela i filozofija[uredi - уреди]

 p \Rightarrow q \, Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg
Matematička logika Teorija skupova Teorija kategorija

Algebra[uredi - уреди]

Glavni članak: Algebra

Matematika se bavi proučavanjem struktura (matematičkih struktura), koje spadaju u granu matematike - algebru.

Algebra obuhvata:

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
kombinatorika Teorija brojeva Teorija grupa Teorija grafova Teorija nizova Algebra

Izučavanje struktura je započeto proučavanjem brojeva.[13] Na početku su formirani i proučavani prirodni brojevi i celi brojevi. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Geometrija[uredi - уреди]

Glavni članak: Geometrija

Matematika se bavi proučavanjem prostora, koji spada u granu matematike - geometriju.

Geometrija obuhvata:

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration.png
Geometrija Trigonometrija Diferencijalna geometrija Topologija Fraktalna geometrija Teorija mera

Izučavanje prostora je započelo sa geometrijom. Najpre je nastala Euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije. Topologija izučava strukture u prostoru i njihove izmene pri neprekidnim preslikavanjima.[14]

Analiza[uredi - уреди]

Glavni članak: Matematička analiza

Matematika se bavi proučavanjem beskonačno malih promena, koje spadaju u granu matematike - matematičku analizu.

Analiza obuhvata[15]:

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg Conformal grid after Möbius transformation.svg
Analiza Vektorska analiza Diferencijalna analiza Dinamički sistemi Teorija haosa Kompleksna analiza

Teorija diferencijalnog računa je razvijena iz potreba prirodnih nauka za razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su razvijene za opisivanje i proučavanje ovakvih problema se izučavaju u teoriji diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke analize.[16] Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je usmerena na analiziranje n-dimenzionalnih prostora funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Primenjena matematika[uredi - уреди]

Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja stvarnih problema.

Primenjena matematika obuhvata:

Gravitation space source.png BernoullisLawDerivationDiagram.svg Composite trapezoidal rule illustration small.svg Maximum boxed.png Two red dice 01.svg Oldfaithful3.png Caesar3.svg
Matematička fizika Dinamika fluida Numerička analiza Optimizacija Teorija verovatnoće Statistika Kriptografija
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png Arbitrary-gametree-solved.svg Signal transduction pathways.svg Ch4-structure.png GDP PPP Per Capita IMF 2008.png Simple feedback control loop2.svg
Finansijska matematika Teorija igara Matematička biologija Matematička hemija Matematička ekonomija Teorija kontrole

Važna oblast primenjene matematike su verovatnoća i statistika koje se bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.[17]

Istorija matematike[uredi - уреди]

Glavni članak: Istorija matematike

Matematika se razvila iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji, i ove tri primjene se mogu dovesti u vezu sa grubom podjelom matematike u izučavanje strukture, prostora i izmjena.[18]

Izučavanje strukture počinje sa brojevima, u početku sa prirodnim brojevima i cijelim brojevima. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva cijelih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rješavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture koje generalizuju osobine koje posjeduju brojevi. Fizikalno važan koncept vektora se izučava u linearnoj algebri.

Izučavanje prostora je počelo sa geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširila na ne-Euklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Razumjevanje i opisivanje izmjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih nauka, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe. Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, i metodi razvijeni pri tome, se izučavaju u diferencijalnim jednačinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je skoncetrisana na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Važna oblast primjenjene matematike je vjerovatnoća i statistika koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Skupovi brojeva
1, 2, \ldots \, \ldots, -1, 0, 1, \ldots \, \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; 0,125;\ldots \, \pi, e, \sqrt{2},\ldots \, i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots \,
Prirodni brojevi (N) Cijeli brojevi (Z) Racionalni brojevi (Q) Realni brojevi (R) Kompleksni brojevi (C)

Sve do kraja 16. veka glavne grane matematike bile su geometrija, i aritmetika. U 16. veku počela se razvijati algebra, a u 17. veku stvaranje diferencijalnog i integralnog računa označilo je početak intenzivnog razvoja analize, koji je svoj vrhunac postigao u 18. veku.[19] Nastale Teorije diferencijalnih jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i nebeskoj mehanici.

Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije skupova u 19. veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine razvoja matematike 20. vek. U 20. veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.

Primjena matematike[uredi - уреди]

Danas se matematika jako razvila i ima primjene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih znanosti. Važna grana primijenjene matematike je Statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička matematika izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za više grana matematike koja se velikim dijelom koriste kao alati u računarskim znanostima. Razvijena je i matematička teorija računarstva, kao i niz drugih interdisciplinarnih grana.

Matematika i ostale znanosti[uredi - уреди]

Također se prilično često pokazalo da razvoj matematike ne mora nužno pratiti razvoj fizike ili neke druge "konkretnije" znanosti, to jest matematika se može razvijati "sama za sebe", a primjena onoga što se dobije već se nađe tokom godina razvoja drugih znanosti (primjeri za to nisu odviše jednostavni, ali, recimo, Riemannov prostor je jedan primjer za to - razvio se sam po sebi, a primjenu je našao tek u teoriji relativnosti)

Matematika u citatima[uredi - уреди]

  • "Ne bi li se muzika mogla opisati kao matematika osjećaja, a matematika kao muzika razuma? Njihov duh je isti. Tako glazbenik osjeća matematiku, a matematičar misli muziku. Jedna će pojačati osjećaj drugoj kad zasja ljudski um podignut u savršenstvo.", Vladimir Devidé
  • "Matematika nije nipošto dosadna ili bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke koja uzvraća ljubav onom tko je voli i razumije", Vladimir Devidé
  • "Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Tko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susjedima, ni sluge u općini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!", Platon
  • "Matematika je simbol naše intelektualne snage i jamstva da će se ljudski um uvijek boriti za uzvišene ciljeve", Danilo Blanuša
  • "Znanje kojem teži geometrija je znanje o vječnome.", Platon

Poznati matematičari[uredi - уреди]

Vidite još[uredi - уреди]

Reference[uredi - уреди]

  1. No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).
  2. "Claire Voisin, Artist of the Abstract". .cnrs.fr. http://www2.cnrs.fr/en/1402.htm. pristupljeno October 13, 2013. 
  3. "mathematic". Online Etymology Dictionary. http://www.etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0. 
  4. Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (Aug 1998). "Abstract representations of numbers in the animal and human brain". Trends in Neuroscience 21 (8): 355–361. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. PMID 9720604. 
  5. LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. str. 2. ISBN 1-4390-4957-2. "Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change." 
  6. Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. str. 2.10. ISBN 0-07-066753-5. "The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus." 
  7. Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. str. 7. ISBN 3-642-19532-6. 
  8. "A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid". Thomas Little Heath (1981). ISBN 0-486-24073-8
  9. "mathematics, n.". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. http://oed.com/view/Entry/114974. pristupljeno June 16, 2012. "The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis." 
  10. Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. str. 4. ISBN 0-486-41712-3. "Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness." 
  11. Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  12. Lynn Steen (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–616. And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development, www.ascd.org.
  13. About.com Mathematics, Definicija algebre, Pristupljeno 7.11.2013.
  14. Wolfram MathWord, O geometriji, Pristupljeno 7.11.2013.
  15. Wolfram MathWord, Termin i oblasti proučavanja analize, Pristupljeno 7.11.2013.
  16. MIT Open Course, Područje proučavanja Osnovne analize, Pristupljeno 7.11.2013.
  17. Applied Mathematics, University of Washington, O primenjenoj matematici, Pristupljeno 7.11.2013.
  18. James Franklin, "Aristotelian Realism" in Philosophy of Mathematics", ed. A.D. Irvine, p. 104. Elsevier (2009).
  19. Cipra, Barry (1982). "St. Augustine v. The Mathematicians". Ohio State University Mathematics department. https://people.math.osu.edu/easwaran.1/augustine.html. pristupljeno July 14, 2014. 
  20. Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhäuser (1992).

Literatura[uredi - уреди]

  • Courant, Richard and Herbert Robbins, What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996). ISBN 0-19-510519-2.
  • Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G.B. Jeffery, D.Sc., and W. Perrett, Ph.D).. E.P. Dutton & Co., New York. http://searchworks.stanford.edu/view/1216826. 
  • Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics, BBC Radio 4 (2010).
  • Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  • Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990). ISBN 0-19-506135-7.
  • Monastyrsky, Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). Canadian Mathematical Society. Retrieved July 28, 2006. 
  • Oxford English Dictionary, second edition, ed. John Simpson and Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
  • The Oxford Dictionary of English Etymology, 1983 reprint. ISBN 0-19-861112-9.
  • Pappas, Theoni, The Joy Of Mathematics, Wide World Publishing; Revised edition (June 1989). ISBN 0-933174-65-9.
  • Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ed. "Linear associative algebra". American Journal of Mathematics (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.) (Johns Hopkins University) 4 (1–4): 97–229. doi:10.2307/2369153. JSTOR 2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. .
  • Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
  • Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6. 
  • Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778–782. 
  • Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101–109. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. Retrieved June 24, 2006. 
  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [first published 1856]. Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ASIN B0000BN5SQ. ISBN 3-253-01702-8. 
  • Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000). ISBN 0-19-513919-4.
  • Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Wiley; 2nd edition, revised by Uta C. Merzbach, (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7.—A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
  • Philip J. Davis and Reuben Hersh, The Mathematical Experience. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7.
  • Jan Gullberg, Mathematics – From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X.
  • Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online.
  • Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover Publications, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
  • Maier, Annaliese, At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press, 1982.

Vanjske veze[uredi - уреди]

Wikicitat
Wikicitat: Matematika