Kompleksan broj

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika $a+bi$, gde su a i $b$ realni brojevi, $i$ jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

$(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,$, $(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,$, ${\frac {a+bi}{x+yi}}={\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\cdot i$

U kompleksnom broju $z=a+bi$ broj $a$ se naziva realni deo, piše se $a=Re(z)$, a broj $b$ je imaginarni deo, piše se $b=Im(z)$.

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz $i$ jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva $(a,b)$. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

$(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,$, $(a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)$, ${\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})$.

Par $(0;1)$ se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom $i$. Iz poslednjih formula proizilazi da je $i^{2}=-1$. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1$.

Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${\sqrt {-1}}$ .

S druge strane, zapis oblika $z=x+yi$ pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

$z=x+yi$ i

$z=(x,y)$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$, gdje su $x,y\in \mathbb {R}$.

Posebno je $0=0+i0$.

$x=\mathrm {Re} (z)$ je realni dio kompleksnog broja $z$,

$y=\mathrm {Im} z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$z=x+iy$ za $x,y\in \mathbb {R}$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =ARgz$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$z=r*e^{i\theta }$ za $r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =ARgz$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

$z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).$

Konjugirano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj ${\bar {z}}=x-iy$.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

$(z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost sabiranja

$z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost sabiranja

$\exists 0\in \mathbb {C} z+0=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralni element 0 (nula) za sabiranje

Kompleksni broj $0=(0,0)=0+0i$

$(\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0$ postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj $-z=(-x,-y)=-x-yi$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

$z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost množenja

$z_{1}*(z_{2}*z_{3})=(z_{1}*z_{2})*z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost množenja

$\exists 1\in \mathbb {C} z*1=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralni element $1$ za množenje

$(\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z')=1$ postojanje recipročnog elemanta

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$, u oznaci $a\circ b$,je realan broj određen kao

$a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i$b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je proveriti da je

$a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

1. $a\circ a=\mid a\mid ^{2}$
2. $a\circ b=b\circ a$
3. ${\overline {a\circ b}}=a\circ b$
4. $(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
5. $(az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)$
6. $a\circ b=0<=>OA\perp OB$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$)

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ jednak je potenciji koordinantnog početka $O$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $AB$, gdje su $A$ i $B$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$.

Tačka $M$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${\frac {a+b}{2}}$, potencija tačke $O$ u odnosu na krug sa središtem u tački $M$ i poluprečnikom

$r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}$ jednaka je

$OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b$

Neka su tačke $A$,$B$,$C$,$D$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$, $d$. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

1. $AB\perp CD$
2. $(a+b)\circ (c+d)=0$
3. ${\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
4. $Re({\frac {b-a}{d-c}})=0$

Središte kružnice opisane oko trougla $ABC$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena $A$, $B$, $C$ trougla $ABC$ određena kompleksnim brojevima $a$, $b$, $c$ respektivno, tada je ortocentar $H$ tog trougla određen kompleksnim brojem $h=a+b+c$.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $a$ i $b$.

Neka su $A$ i $B$ tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i $a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je provjeriti da je

$\mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}$

Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

1. ${\overline {a\times b}}=-a\times b$
2. $a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
3. $a\times b=-b\times a$
4. $\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ )

Ako su $A(a)$ i $B(b)$ dvije različite tačke različite od $O(0)$, tada je $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$, $A$,$B$ kolinearne tačke.

Neka su $A(a$) i $B(b$) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $a$ i $b$ ima sljedeći geometrijski smisao

$a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}$ Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

$P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orjentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orjentisan\end{cases}}$

Neka su $A(a)$, $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

1. Tačke $A$,$B$,$C$ su kolinearne
2. $(b-a)\times (c-a)=0$
3. $a\times b+b\times c+c\times a=0$

Neka su $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ i $D(d)$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je $AB\parallel CD$ onda i samo onda ako je $(b-a)\times (d-c)=0$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

$\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0$

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C}$

Neka je $z=x+yi\neq 0$ bilo koji. Onda je $x^{2}+y^{2}\neq 0$ pa je dobro definisan broj

$z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i$

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$

imamo

$z'*z=z*z'=1$

$z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj ${\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }$ nazivamo konjugovanim broju $z=x+yi=r^{i\theta }$.

Brojevi $z$ i ${\overline {z}}$ čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})$

$Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})$

Lako se provjerava da vrijedi

1. ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
2. ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
3. ${\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}$
4. ${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}$

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$z^{n}=r^{n}\ cisn\theta$ ili

$(cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)$

Stepenovanje kompleksnog broja

$z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }$ za $n\in N$.

$z^{m}z^{n}=z^{m+n}$

$z_{1}^{n}*z_{2}^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}$

$(z^{m})^{n}=z^{mn}$

Korjenovanje kompleksnog broja

${\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}$ za $n\in N$

gdje je

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})$ za $k=0,1,...(n-1)$

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1,...(n-1)$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

${\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

$i=(a+bi)^{2}\!$

$i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!$

Dobijamo dvije jednačine

${\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}$

čija su rješenja

$a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Izbor glavnog korjena daje

$a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

$i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}$

Apsolutna vrijednost argumenta

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja $z=x+yi$ je

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

$\textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,$

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku

Iz trigonometrijskih identiteta

$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)$

$\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)$

imamo

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,$

Primjer

$(2+i)(3+i)=5+5i.\,$

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

Dijeljenje

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).$

Trigonometrijski oblik

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

$a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,$,

$\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}$, za $a>0$ i $\phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}$ za $a<0$; kada je $a=0$ onda je $\phi ={\frac {\pi }{2}}$, ako je $b>0$ i $\phi =-{\frac {\pi }{2}}$, ako je $b<0$. Broj $\rho$ se naziva moduo kompleksnog broja, a $\phi$ je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$ .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva $a,b,\rho ,\phi$ vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora $\rho$ je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: $|z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,$;

tj.

$e^{in\phi }=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}\,$;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa $i$, takvog da je $i^{2}=-1$.

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})$

onda je

$z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=$

$r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1})=$

$r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2})$

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

$z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})$ i $z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})$

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {r_{1}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{r_{2}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}$

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})$

De Moavrova formula =

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,$

Izvori

1. Kompleksni brojevi Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u
2. Kompleksni brojevi
3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
4. Skup kompleksnih brojeva Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u

Reference

Kompleksan broj na Wikimedijinoj ostavi