Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika
, gde su a i
realni brojevi,
jedan simbol.
Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:
,
,
U kompleksnom broju
broj
se naziva realni deo, piše se
, a broj
je imaginarni deo, piše se
.
Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz
jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.
Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva
. Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:
,
,
.
Par
se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom
.[1] Iz poslednjih formula proizilazi da je
. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je
.
Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja
.
S druge strane, zapis oblika
pogodniji je za računanje.
Oba oblika kompleksnog broja
i
potpuno su ekvivalentna.
Skup kompleksnih brojeva
je skup svih brojeva oblika
, gdje su
.
Posebno je
.
je realni dio kompleksnog broja
,
je imaginarni dio kompleksnog broja
.
- Algebarski oblik kompleksnog broja je
za
- Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je
pri čemu je
modul
argument
- Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je
za
pri čemu je
modul
argument
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.
Konjugirano kompleksni broj broja
je broj
.
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja
je nenegativni realni broj
.
Osobine sabiranja kompleksnih brojeva[uredi | uredi kod]
[2]
za
komutativnost sabiranja
za
asocijativnost sabiranja
za
neutralni element 0 (nula) za sabiranje
Kompleksni broj
postojanje inverznog elemanta.
Kompleksni broj
[3]
Osobine množenja kompleksnih brojeva[uredi | uredi kod]
za
komutativnost množenja
za
asocijativnost množenja
za
neutralni element
za množenje
postojanje recipročnog elemanta
za
distributivnost množenja u odnosu na sabiranje[4]
Realan proizvod dva kompleksna broja[uredi | uredi kod]
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe.
Definicija
Realan proizvod kompleksnih brojeva
i
, u oznaci
,je realan broj određen kao
Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima
i
Lako je proveriti da je
Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja





(za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima
i
)
Realan proizvod kompleksnih brojeva
i
jednak je potenciji koordinantnog početka
kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik
, gdje su
i
tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima
i
.
Tačka
je sredina duži AB određena kompleksnim brojem
, potencija tačke
u odnosu na krug sa središtem u tački
i poluprečnikom
jednaka je
Neka su tačke
,
,
,
taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima
,
,
,
. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:




Središte kružnice opisane oko trougla
nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena
,
,
trougla
određena kompleksnim brojevima
,
,
respektivno, tada je ortocentar
tog trougla određen kompleksnim brojem
.
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja[uredi | uredi kod]
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.
- Definicija
Kompleksan broj
nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva
i
.
Neka su
i
tačke određene kompleksnim brojevima
i
Lako je provjeriti da je
Neka su
,
,
kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

gdje je 

(
)
Ako su
i
dvije različite tačke različite od
, tada je
onda i samo onda ako su
,
,
kolinearne tačke.
Neka su
) i
) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni
različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva
i
ima sljedeći geometrijski smisao
Neka su
,
i
tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada je
Neka su
,
i
tri različite tačke u kompleksnoj ravni.
Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna
- Tačke
,
,
su kolinearne


Neka su
,
,
i
četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je
onda i samo onda ako je
Dijeljenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi kod]
U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za
Neka je
bilo koji. Onda je
pa je dobro definisan broj
imamo
Konjugovano kompleksni brojevi[uredi | uredi kod]
Kompleksan broj
nazivamo konjugovanim broju
.[5]
Brojevi
i
čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo
Lako se provjerava da vrijedi



[6]
Neka je
trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je
[7]
Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici
ili
[8]
Stepenovanje kompleksnog broja[uredi | uredi kod]
za
.
Korjenovanje kompleksnog broja[uredi | uredi kod]
za
gdje je
za
za
Kvadratni korjen imaginarnog broja[uredi | uredi kod]
Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način
Dobijamo dvije jednačine
čija su rješenja
Izbor glavnog korjena daje
Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule
Apsolutna vrijednost argumenta[uredi | uredi kod]
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja
je
[9]
Kvadrat apsolutne vrijednosti je
Množenje i dijeljenje u polarnom obliku[uredi | uredi kod]
Iz trigonometrijskih identiteta
imamo
- Primjer
Dijeljenje
Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
,
, za
i
za
; kada je
onda je
, ako je
i
, ako je
. Broj
se naziva moduo kompleksnog broja, a
je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:
.
Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva
vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.
Dužina vektora
je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema:
.
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:
;
tj.
;
pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa
, takvog da je
.
- Množenje
Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.
Neka su zadani kompleksni brojevi
i
onda je [10]
- Dijeljenje
Neka su zadani kompleksni brojevi
i
[11]
Neka je
trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je
Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici
[12]
- Kompleksni brojevi Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u
- Kompleksni brojevi
- KOMPLEKSNI - BROJEVI
- Skup kompleksnih brojeva Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u
- ↑ „imaginarna jedinica”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21.
- ↑ „Računske operacije su definirane”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21.
- ↑ „Aksiomi polja kompleksnih brojeva”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21.
- ↑ „Aksiomi polja kompleksnih brojeva”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21.
- ↑ Konjugovano komleksni broj kompleksnog broja
- ↑ „Kompleksno-konjugirani brojevi”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21.
- ↑ stepenovanje/19.februar 2014.
- ↑ Moavrova formula:
- ↑ Modul kompleksnog broj Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-ua
- ↑ Sada, kada smo odredili brojeve, možemo ih pomnožiti:19. februar 2014
- ↑ u opštem slučaju važi 19. februar 2014.
- ↑ De Moavrova formula 21.februar 2014.