Kompleksan broj

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika , gde su a i realni brojevi, jedan simbol.

Complex number illustration.svg

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

malo
,
,

U kompleksnom broju broj se naziva realni deo, piše se , a broj je imaginarni deo, piše se .

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva . Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

,
,
.

Par se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom .[1] Iz poslednjih formula proizilazi da je . Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

.

Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja .

S druge strane, zapis oblika pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

i

potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva je skup svih brojeva oblika , gdje su .

Posebno je .

je realni dio kompleksnog broja ,

je imaginarni dio kompleksnog broja .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

za

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

pri čemu je

modul

argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

za

pri čemu je

modul

argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

Konjugirano kompleksni broj broja je broj .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je nenegativni realni broj .

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

[2] za komutativnost sabiranja

za asocijativnost sabiranja

za neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj

postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj [3]

Osobine množenja kompleksnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

za komutativnost množenja

za asocijativnost množenja

za neutralni element za množenje

postojanje reciproćnog elemanta

za distributivnost množenja u odnosu na sabiranje[4]

Realan proizvod dva kompleksna broja[uredi - уреди | uredi izvor]

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva i , u oznaci ,je realan broj određen kao

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima i Lako je proveriti da je

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

  1. (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima i )

Realan proizvod kompleksnih brojeva i jednak je potenciji koordinantnog početka kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik , gdje su i tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima i .

Tačka je sredina duži AB određena kompleksnim brojem , potencija tačke u odnosu na krug sa središtem u tački i poluprečnikom

jednaka je

Neka su tačke ,,, taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima , , , . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

Središte kružnice opisane oko trougla nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena , , trougla određena kompleksnim brojevima , , respektivno, tada je ortocentar tog trougla određen kompleksnim brojem .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja[uredi - уреди | uredi izvor]

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva i .

Neka su i tačke određene kompleksnim brojevima i Lako je provjeriti da je

Neka su , , kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

  1. gdje je
  2. ( )

Ako su i dvije različite tačke različite od , tada je onda i samo onda ako su , , kolinearne tačke.

Neka su ) i ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva i ima sljedeći geometrijski smisao

Neka su , i tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

Neka su , i tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

  1. Tačke ,, su kolinearne

Neka su , , i četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je onda i samo onda ako je

Dijeljenje kompleksnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

Neka je bilo koji. Onda je pa je dobro definisan broj

imamo

Konjugovano kompleksni brojevi[uredi - уреди | uredi izvor]

Complex conjugate picture.svg

Kompleksan broj nazivamo konjugovanim broju .[5]

Brojevi i čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

Lako se provjerava da vrijedi

  1. [6]

Neka je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

[7]

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

ili

[8]

Stepenovanje kompleksnog broja[uredi - уреди | uredi izvor]

za .

Korjenovanje kompleksnog broja[uredi - уреди | uredi izvor]

za

gdje je

za

za

Kvadratni korjen imaginarnog broja[uredi - уреди | uredi izvor]

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

Dobijamo dvije jednačine

čija su rješenja

Izbor glavnog korjena daje

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

Apsolutna vrijednost argumenta[uredi - уреди | uredi izvor]

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja je

[9]

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku[uredi - уреди | uredi izvor]

Iz trigonometrijskih identiteta

imamo

Primjer

Dijeljenje

Trigonometrijski oblik[uredi - уреди | uredi izvor]

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

,

, za i za ; kada je onda je , ako je i , ako je . Broj se naziva moduo kompleksnog broja, a je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

.

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Dužina vektora je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: .

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

;

tj.

;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa , takvog da je .

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

i

onda je [10]

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

i

[11]

De Moavrova formula =[uredi - уреди | uredi izvor]

Neka je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

[12]

Izvori[uredi - уреди | uredi izvor]

  1. Kompleksni brojevi
  2. Kompleksni brojevi
  3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
  4. Skup kompleksnih brojeva

Reference[uredi - уреди | uredi izvor]

  1. imaginarna jedinica
  2. Računske operacije su definirane
  3. Aksiomi polja kompleksnih brojeva
  4. Aksiomi polja kompleksnih brojeva
  5. Konjugovano komleksni broj kompleksnog broja
  6. Kompleksno-konjugirani brojevi
  7. stepenovanje/19.februar 2014.
  8. Moavrova formula:
  9. Modul kompleksnog broja
  10. Sada, kada smo odredili brojeve, možemo ih pomnožiti:19. februar 2014
  11. u opštem slučaju važi 19. februar 2014.
  12. De Moavrova formula 21.februar 2014.