Kompleksan broj

Izvor: Wikipedia

Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika a + bi, gde su a i b realni brojevi, i jedan simbol.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:

(a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,,
(a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,,
 \frac{a+bi}{x+yi} = \frac{ax+by}{x^2 +y^2} + \frac{bx-ay}{x^2+y^2} \cdot i

U kompleksnom broju z=a+bi broj a se naziva realni deo, piše se a = Re(z), a broj b je imaginarni deo, piše se b = Im(z).

Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz i jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.

Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva (a,b). Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:

(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,,
(a,b) \cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx),
 \frac{(a,b)}{(x,y)} = ( \frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2}).

Par (0;1) se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom i. Iz poslednjih formula proizilazi da je i^2=-1. Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1.

Trigonometrijski oblik[uredi - уреди]

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,,

 \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}, za a>0 i  \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a} za a<0; kada je a=0 onda je  \phi = \frac{ \pi}{2}, ako je b>0 i  \phi =- \frac{ \pi}{2}, ako je b<0. Broj  \rho se naziva moduo kompleksnog broja, a  \phi je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:

( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\, .

Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva a,b, \rho,\phi vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.

Datoteka:Kompleksna-ravan.gif

Dužina vektora \rho je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: |z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}.

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:

e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,;

tj.

e^{in\phi}=(\cos\phi+i\sin\phi)^{n} \,;

pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa i, takvog da je i^2=-1.