Množenje

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
3 · 4 = 12, pa 12 kuglica može biti složeno kao 3 vrste po 4 (ili 4 kolone po 3) kuglice

Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao -{a · b}- ili -{a × b}-. Operandi -{a}- i -{b}- se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je -{n}- ∈ ℕ, onda je

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · -{a · b}- može zapisati i kao 3 -{a b}-

Inverzna operacija množenju je deljenje.

Množenje brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Osobine[uredi - уреди | uredi izvor]

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

1. (neutral)
2. (svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli)
3. (asocijativnost)
4. komutativnost
5. distributivnost množenja prema sabiranju

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

Inverzan broj broja se zapisuje kao . Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

Množenje celih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

Racionalni činioci[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Racionalan broj

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

Iracionalni činioci[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Realni brojevi

Neka je -{b}- ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod -{a · b}- granična vrednost

gde je racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja -{b}-.

Množenje kompleksnih brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Kompleksni brojevi

Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

.

Kako je , formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

.

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

Množenje vektora[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Vektor

Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: .

Množenje vektora skalarom[uredi - уреди | uredi izvor]

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

Skalarni proizvod[uredi - уреди | uredi izvor]

Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

Skalarni proizvod je komutativan.

Vektorski proizvod[uredi - уреди | uredi izvor]

Vektorski proizvod.

Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za , i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

gde su i ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

Mešoviti proizvod[uredi - уреди | uredi izvor]

Zapremina paralelepipeda koji definišu 3 vektora jednaka je njihovom mešovitom proizvodu.

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:

Množenje matrica[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Matrica (matematika)

Neka su date matrice -{A}- i -{B}- veličine -{m}--{A}-×-{n}--{A}- i -{m}--{B}-×-{n}--{B}-, respektivno. Proizvod -{AB}- je definisan ako je -{n}--{A}- = -{m}--{B}-, a dobijena matrica ima dimenzije -{m}--{A}-×-{n}--{B}-. Elementi matrice-proizvoda su

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

Vidi još[uredi - уреди | uredi izvor]