Množenje

Izvor: Wikipedia
3 · 4 = 12, pa 12 kuglica može biti složeno kao 3 vrste po 4 (ili 4 kolone po 3) kuglice

Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao -{a · b}- ili -{a × b}-. Operandi -{a}- i -{b}- se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je -{n}- ∈ ℕ, onda je

a \cdot n = \underbrace{a + \cdots + a}_n.

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · -{a · b}- može zapisati i kao 3 -{a b}-

Inverzna operacija množenju je deljenje.

Množenje brojeva[uredi - уреди]

Osobine[uredi - уреди]

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

1. a \cdot 1 = 1 \cdot a = a (neutral)
2. a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 (svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli)
3. (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (asocijativnost)
4. a \cdot b = b \cdot a komutativnost
5. a \cdot (b +c) = a \cdot b + a \cdot c distributivnost množenja prema sabiranju

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

\forall a \  \exists_1 b: a \cdot b = 1

Inverzan broj broja a se zapisuje kao \tfrac{1}{a}. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

\frac{1}{\frac{1}{a}} = a

Množenje celih brojeva[uredi - уреди]

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

Racionalni činioci[uredi - уреди]

Glavni članak: Racionalan broj

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

a = \frac{p_1}{q_1} \land b = \frac{p_2}{q_2} \Rightarrow a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}

Iracionalni činioci[uredi - уреди]

Glavni članak: Realni brojevi

Neka je -{b}- ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod -{a · b}- granična vrednost

a \cdot b = \lim_{\frac{p}{q} \rightarrow b} a \cdot \frac{p}{q}

gde je \tfrac{p}{q} racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja -{b}-.

Množenje kompleksnih brojeva[uredi - уреди]

Glavni članak: Kompleksni brojevi

Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

z = (a, b) = \rho (\cos \phi + i \sin \phi).

Kako je i^2 = -1, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

\rho_1 (\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot \rho_2 (\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = \rho_1 \rho_2 (\cos \left( \phi_1 + \phi_2\right) + i \sin \left( \phi_1 + \phi_2\right))

Množenje vektora[uredi - уреди]

Glavni članak: Vektor

Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z) \in \mathbb{R}^3.

Množenje vektora skalarom[uredi - уреди]

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

k \in \mathbb{R}, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow k \mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)

Skalarni proizvod[uredi - уреди]

Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
\cdot: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

Skalarni proizvod je komutativan.

Vektorski proizvod[uredi - уреди]

Vektorski proizvod.

Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za \mathbb{R}^3, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z 
\end{vmatrix}

gde su \mathbf{i}, \mathbf{j} i \mathbf{k} ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

Mešoviti proizvod[uredi - уреди]

Zapremina paralelepipeda koji definišu 3 vektora jednaka je njihovom mešovitom proizvodu.

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:

[]: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3
[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}

Množenje matrica[uredi - уреди]

Glavni članak: Matrica (matematika)

Neka su date matrice -{A}- i -{B}- veličine -{m}--{A}-×-{n}--{A}- i -{m}--{B}-×-{n}--{B}-, respektivno. Proizvod -{AB}- je definisan ako je -{n}--{A}- = -{m}--{B}-, a dobijena matrica ima dimenzije -{m}--{A}-×-{n}--{B}-. Elementi matrice-proizvoda su

(AB)_{i, j} = \sum_{k=1}^{n_A} A_{i, k} B_{k, j}

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

[A, B] = A \times B - B \times A

Vidi još[uredi - уреди]