Množenje

3 · 4 = 12, pa 12 kuglica može biti složeno kao 3 vrste po 4 (ili 4 kolone po 3) kuglice

Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao -{a · b}- ili -{a × b}-. Operandi -{a}- i -{b}- se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je -{n}- ∈ ℕ, onda je

$a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$$a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · -{a · b}- može zapisati i kao 3 -{a b}-

Inverzna operacija množenju je deljenje.

Množenje brojeva

Osobine

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$$a\cdot 1=1\cdot a=a$	(neutral)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$$a\cdot 0=0\cdot a=0$	(svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(asocijativnost)
4. $a\cdot b=b\cdot a$$a\cdot b=b\cdot a$	komutativnost
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	distributivnost množenja prema sabiranju

5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$

Inverzan broj broja $a$$a$ se zapisuje kao ${\tfrac {1}{a}}$${\tfrac {1}{a}}$. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

Množenje celih brojeva

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

Racionalni činioci

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

Iracionalni činioci

Neka je -{b}- ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod -{a · b}- granična vrednost

$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$

gde je ${\tfrac {p}{q}}$${\tfrac {p}{q}}$ racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja -{b}-.

Množenje kompleksnih brojeva

Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

$z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$$z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$.

Kako je $i^{2}=-1$$i^{2}=-1$, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$.

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$

Množenje vektora

Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$$\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Množenje vektora skalarom

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

$k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$$k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Skalarni proizvod je komutativan.

Vektorski proizvod

Vektorski proizvod.

Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za $\mathbb {R} ^{3}$$\mathbb {R} ^{3}$, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

$\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$$\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

gde su $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$$\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ i $\mathbf {k}$$\mathbf {k}$ ortovi duž x, y i z ose, respektivno.

Mešoviti proizvod

Zapremina paralelepipeda koji definišu 3 vektora jednaka je njihovom mešovitom proizvodu.

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:

$[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$$[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$

$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$

Množenje matrica

Neka su date matrice -{A}- i -{B}- veličine -{m}-_-{A}-×-{n}-_-{A}- i -{m}-_-{B}-×-{n}-_-{B}-, respektivno. Proizvod -{AB}- je definisan ako je -{n}-_-{A}- = -{m}-_-{B}-, a dobijena matrica ima dimenzije -{m}-_-{A}-×-{n}-_-{B}-. Elementi matrice-proizvoda su

$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

$[A,B]=A\times B-B\times A$$[A,B]=A\times B-B\times A$

Vidi još

• Deljenje
• Stepenovanje
• Tablica množenja
• Linearna funkcija
• Egipatsko množenje

Množenje na Wikimedijinoj ostavi