Stepenovanje
Stepenovanje ili potenciranje je matematička binarna operacija, u zapisu ab. U ovom zapisu a se naziva osnova, a b eksponent. Čita se „a na b-ti stepen“ ili kraće „a na b“, gde je a kardinalni, a b redni (ordinalni) broj; na primer, 57 se čita „pet na sedmi (stepen)“.
Ako je n ∈ ℕ, onda stepen predstavlja osnovu pomnoženu samom sobom n puta:
Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. abc znači a(bc), a ne (ab)c.
Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno (23 = 8 ≠ 32 = 9), niti asocijativno .
- ac · bc = (a · b)c
- ab · ac = ab + c
- ab : ac = ab − c (za a ≠ 0)
- (ab)c = ab · c
Posledica osobine 3 su
- a0 = ab − b = ab : ab = 1
- a−b = a0 − b = 1 / ab
čime se, polazeći od definicije stepenovanja sa eksponentom koji je prirodan (odnosno pozitivan ceo) broj, definiše stepenovanje za svaki celobrojni eksponent.
Po definiciji,
Neka je eksponent b ∈ ℚ racionalan broj. Tada se može napisati b = p / q, p ∈ ℤ q ∈ ℕ, pri čemu je
Kako parni korenovi negativnih brojeva nisu definisani, to nije definisano ni za parno q i negativno a.
Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj. Tada je vrednost ab definisana samo za a ∈ ℝ+, kao granična vrednost
stepena ap / q sa racionalnim eksponentima p / q, koji teže ka datom eksponentu b.
Konkretna numerička vrednost računa se preko približnih vrednosti, sa željenom preciznošću eksponenta. Npr, ako je x = aπ, tada je a3,141 < x < a3,142.
Kako se svaki kompleksan broj z ∈ ℂ može zapisati u obliku (videti Ojlerovu formulu) to važi
- .
- Stepenovanje matrica
Stepenovanje matrica identično je po definiciji stepenovanju realnih brojeva sa prirodnim eksponentima. Definisano je za kvadratne matrice i prirodan broj kao eksponent.
Iz stepenovanja se mogu izvesti dve funkcije, u zavisnosti od toga da li je nezavisna promenljiva osnova ili eksponent. Prvi slučaj daje stepenu funkciju (), a drugi eksponencijalnu funkciju ().
Inverzna funkcija stepenoj funkciji je korena funkcija ().
Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija ().
- e – osnova prirodnog logaritma
- Stepena funkcija
- Eksponencijalna funkcija
- Koren
- Logaritam