Teorija brojeva
Teorija brojeva je grana matematike koja se bavi osobinama brojeva, posebno celih, kao i širih klasa problema koji proističu iz ove studije.
Izraz aritmetika se takođe koristi za teoriju brojeva. Ovo je stariji izraz koji više nije popularan koliko je nekada bio. Teoriju brojeva su nekada zvali viša aritmetika, ali i ovaj izraz više nije u upotrebi. Pa ipak, izraz aritmetika se i dalje javlja u imenima nekih matematičkih oblasti (aritmetičke funkcije, aritmetika eliptičkih krivih, osnovna teorema aritmetike). Ovo smisao izraza aritmetika ne treba mešati ni sa elementarnom aritmetikom, niti sa granom logike koja proučava Peanovu aritmetiku kao formalni sistem. Matematičari koji se bave teorijom brojeva se nazivaju teoretičari brojeva.
U elementarnoj teoriji brojeva, se proučavaju celi brojevi bez korišćenja tehnika iz drugih oblasti matematike. Ovde spadaju pitanja deljivosti, korišćenja Euklidovog algoritma za izračunavanje najvećeg zajedničkog delioca, faktorizacije celih brojeva u proste brojeve, proučavanje savršenih brojeva i kongruencija. Nekoliko važnih otkrića iz ove oblasti su Mala Fermaova teorema, Ojlerova teorema, Kineska teorema o ostatku i zakon kvadratnog reciprociteta. Svojstva multiplikativnih funkcija poput Mebijusove funkcije, Ojlerove fi funkcije, nizova celih brojeva, faktorijela, i Fibonačijevih brojeva takođe spadaju u ovu oblast.
Mnoga pitanja iz oblasti teorije brojeva se mogu iskazati u terminima elementarne teorije brojeva, ali mnoga od njih zahtevaju vrlo duboko razmatranje i nove pristupe koji su izvan domena elementarne teorije brojeva. Među ovakvim primerima su:
- Goldbahova konjektura koja se tiče izražavanja parnih brojeva kao zbirova dva prosta broja.
- Katalanova konjektura (sada Mihaileskuova teorema) koja se tiče uzastopnih stepena celih brojeva.
- Konjektura o prostim blizancima, koja govori o beskonačnosti parova prostih brojeva.
- Kolacova konjektura koja se tiče proste iteracije.
- Poslednja Fermaova teorema (izrečena 1637, ali dokazana tek 1994) koja tvrdi da je nemoguće naći cele brojeve različite od nule x, y, z, takve da za neko celobrojno n veće od 2.
Za teoriju diofantskih jednačina je čak pokazano da je neodlučiva (vidi deseti Hilbertov problem).
Analitička teorija brojeva koristi tehniku analize i kompleksne analize za rešavanje problema vezanih za cele brojeve. Primer su teorema o prostim brojevima i povezana Rimanova hipoteza. Takođe, za Voringov problem (predstavljanje datog celog broja kao zbira kvadrata, kubova itd.), konjekturu o prostim blizancima (nalaženje beskonačno mnogo parova prostih brojeva čija je razlika 2) i Goldbahovu konjekturu (zapisivanje parnih brojeva kao zbira dva prosta broja) se koriste analitički metodi. Dokaz transcedentnosti matematičkih konstanti, kao što su pi ili e, takođe spada u analitičku teoriju brojeva. Iako može izgledati da iskazi o transcendentnim brojevima ne spadaju u proučavanje celih brojeva, oni u stvari predstavljaju proučavanje mogućih vrednosti polinoma sa celobrojnim koeficijentima, izračunatim recimo u e; oni su takođe u bliskoj vezi sa poljem diofantske aproksimacije, gde se istražuje koliko dobro se dati realan broj može aproksimirati racionalnim.
U algebarskoj teoriji brojeva, koncept broja se proširuje na algebarske brojeve koji su nule polinoma sa racionalnim koeficijentima. Ovi domeni sadrže elemente analogne celim brojevima, takozvane algebarske cele brojeve. Ovde poznata svojstva celih brojeva (poput jedinstvene faktorizacije) ne moraju da važe. Pomoću teorije Galoa, kohomologije grupe, klasne teorije polja, predstavljanja grupa i L-funkcija je moguće u nekom obimu povratiti to uređenje za ovu novu klasu brojeva.
Mnogim pitanjima iz teorije brojeva se najlakše prilazi tako što se proučavaju po modulu p za sve proste p. Ovo se naziva lokalizacijom i dovodi do konstrukcije p-adnih brojeva; ova oblast se naziva lokalnom analizom i potiče iz algebarske teorije brojeva.
Geometrijska teorija brojeva (tradicionalno zvana geometrijom brojeva) uključuje neke osnovne geometrijske pojmove u pitanja teorije brojeva. Polazi od teoreme Minkovskog, a vodi do bazičnih dokaza konačnosti klasnog broja i Dirihleove jedinične teoreme.
Kombinatorna teorija brojeva se bavi problemima teorije brojeva koji uključuju kombinatorne ideje u svojim formulacijama ili rešenjima. Pal Erdoš je glavni osnivač ove grane teorije brojeva. Tipične teme ove oblasti uključuju pokrivački sistem, problem nulte sume, i aritmetičke progresije u skupu celih brojeva. U ovoj oblasti su korisne algebarske i analitičke metode.
Računarska teorija brojeva proučava algoritme važne za teoriju brojeva. Brzi algoritmi za testiranje prostosti broja i faktorizaciju celih brojeva imaju važne primene u kriptografiji.
