Faktorijel

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
15 1307674368000
20 2432902008176640000
25 15511210043330985984000000
50 3,04140932... · 1064
70 1,19785717... · 10100
450 1,73336873... · 101 000
3249 6,41233768... · 1010 000
25206 1,205703438... · 10100 000

Faktorijel prvih nekoliko brojeva i faktorijel nekih većih brojeva

U matematici, faktorijel nenegativnog cijelog broja je proizvod svih pozitivnih brojeva manjih ili jednakih . Na primjer,

i

gdje predstavlja n-faktorijel. Oznaku je prvi uveo Kristijan Kramp, 1808. godine.

Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

Faktorijel se formalno definiše na sljedeći način

Gornja definicija pretpostavlja da je:

Ova definicija je korisna jer rekurzivna definicija faktorijela glasi

,

za šta je neophodno da faktorijel broja 0 bude 1.

Kombinatorika[uredi - уреди | uredi izvor]

Faktorijel je važan u kombinatorici. Na primjer, postoji ukupno različitih načina da se rasporedi različitih objekata (ovi različiti načini rasporeda se zovu permutacije). Broj načina na koji se može izvući objekata iz skupa od objekata (broj kombinacija), je dat takozvanim binomnim koeficijentom:

Teorija brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Faktorijel se mnogo koristi u teoriji brojeva. Konkretno, je uvijek djeljiv svim prostim brojevima do i uključujući . Posljedično, je kompozitan broj ako i samo ako

.

Štaviše, imamo Vilsonovu teoremu koja tvrdi

ako i samo ako je prost broj.

Jedini faktorijel broja a koji je istovremeno i prost broj je broj 2, ali ima mnogo prostih brojeva oblika .

Dvostruki faktorijel n!![uredi - уреди | uredi izvor]

nije jednako

  • 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
  • 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Brzina rasta funkcije[uredi - уреди | uredi izvor]

Grafik prirodnog logaritma faktorijela

Kako raste, faktorijel postaje veći od svih polinomijalnih i eksponencijalnih funkcija od .

Kad je veliko, se procjenjuje sa velikom preciznošću koristeći Stirlingovu aproksimaciju:

Logaritam faktorijela se može iskoristiti da bi se izračunalo koliko će cifara u datom brojnom sistemu imati faktorijel zadatog broja. se može lako izračunati na sljedeći način:

Treba obratiti pažnju da ova funkcija, kad joj se nacrta grafik, izgleda približno linearna, za male vrijednosti; ali faktor raste do prilično velikih vrijednosti, premda jako sporo. Grafik za između 0 i 20,000 je prikazan desno.

Izračunavanje[uredi - уреди | uredi izvor]

Vrijednost se može izračunati množenjem svih prirodnih brojeva do , ako nije veliko. Najveći broj za kojeg većina kalkulatora može izračunati vrijednost je , jer je . i su, tim redom, najveći brojevi čiji faktorijel može da stane u standardne cjelobrojne promjenljive kod tridesetdvobitnih i šezdesetčetvorobitnih računara. U praksi, većina programa računa ove male brojeve direktnim množenjem ili vađenjem rezultata iz tabele. Faktorijeli većih brojeva se računaju obično aproksimacijom, koristeći Stirlingovu formulu.

U teoriji brojeva i kombinatorici, često su potrebne tačne vrijednosti faktorijela velikih brojeva. Faktorijeli velikih brojeva se mogu izračunati direktnih množenjem, ali množenje redom odozdo nagore je neefikasno; bolje je rekurzijom podijeliti sekvencu tako da je veličina svakog potproizvoda manja.

Vidi još[uredi - уреди | uredi izvor]