Težište

Težište je u fizici točka (hvatište) koja se ponaša tako kao da je masa cijelog sustava koncentrirana u tu točku. U nekim slučajevima se cijeli složeni sustav može prikazati samo svojim težištem: izračun volumena nekog rotacijskog tijela se može izračunati kao umnožak površine geometrijskog lika i duljine puta koji opisuje težište tog geometrijskog lika. S druge strane, centar mase složenog sustava (npr:geometrijskog tijela) ovisi o položaju parcijalnih masa koje čine taj sustav.

Gore je samo jedna od definicija za težište. Činjenica je da težište imaju i geometrijski likovi i geometrijska tijela. Težište geometrijskih likova i tijela se koristi pri izračunima u matematici, strojarstvu i drugim znanstvenim disciplinama.

Matematička definicija težišta

$\mathbf{Y_c} = { \sum m_i \mathbf{Y}_i \over \sum m_i }$

Iz gornje formule vidimo da je težište izračunato kao srednja vrijednost umnoška jediničnih (parcijalnih) masa i njihovih parcijalnih vrijednosti težišta.

Primjeri

• Centar masa, ili težište sustava sastavljenog od dva podsustava nalazit će se na dužini koja spaja centre ta dva podsustava. Težište cijelog sustava će biti bliže težem podsustavu.
• Centar prstena će biti u centru tog geometrijskog lika (u zraku).
• Centar pravokutnika nalazit će se na presjeku dijagonala.
• Općenito, za simetrična geometrijska tijela i likove, centar će se nalaziti na simetrali tog tijela ili lika.

Povijest

Težišta je prvi proučavao, još u antičko doba, grčki matematičar, fizičar i znanstvenik Arhimed. Razvio je matematičke metode za izračunavanje težišta različitih oblika (trokuta, kalote...).

Težišta linija

• Dužina.

Težište je na polovici dužine.

• Kružni luk s polumjerom r i kutom $\alpha$

$Y_c=r\cdot \frac {sin \alpha} {\hat {\alpha}}$

gdje je $\hat {\alpha}$ (rad)

Težišta geometrijskih likova

• Trokut.

$Y_c=\frac {h}{3}$

• Paralelogram.

Težište je na presjeku dijagonala.

• Kružni isječak.

$Y_c=\frac{2}{3} \cdot r \cdot \frac{sin \alpha}{\hat {\alpha}}$

gdje je $\hat {\alpha}$ (rad)

• Kružni odsječak.

$Y_c=\frac{2}{3}\cdot \frac{sin^3\alpha}{\hat {\alpha}-sin\alpha \cdot cos\alpha}$

gdje je $\hat {\alpha}$ (rad)

Težište geometrijskih tijela

• Kocka i prizma

Težište je u središtu.

• Piramida i stožac

$Y_c=\frac{h}{4}$

• Polukugla.

$Y_c=\frac{3}{8} \cdot r$

• Kalota (kuglin odsječak)

$Y_c=\frac{3}{4} \cdot \frac{(2r-h)^2}{(3r-h)}$

• Kuglin isječak

$Y_c=\frac {3}{8} \cdot (2r-h)$