Tetraedar

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Tetraedar (vidi animaciju)
Razmotana figura tetraedra

Tetraedar (grč. tetráedron) je geometrijsko telo koga ograničavaju četiri trougaone površi, koje zajedno sa delom prostora koga omeđuju jednoznačno formiraju telo sa četiri temena i šest ivica. Naziv se u principu koristi za pravilni tetraedar, kod koga su ove četiri površi identični jednakostranični trouglovi. Pravilni tetraedar je jedan od pet pravilnih poliedara.

Svojstva pravilnog tetraedra[uredi - уреди | uredi izvor]

Neke od osnovnih karakteristika tetraedra su određene sledećim formulama:

Površina
Zapremina
Poluprečnik opisane sfere
Poluprečnik upisane sfere
Visina
Ugao između ivice i površi
Ugao između dve površi

Pregled[uredi - уреди | uredi izvor]

Tetraedar

Tetraedar je trodimenzijski slučaj općeg koncepta euklidskog simpleksa. To je jedan od oblika piramida, koji je poliedar s ravnom poligonskom bazom i trokutastoim licem koje povezuje bazu za zajedničkom tjemenom tačkom. U slučaju kada je tetraedarska baza trougao (bilo koje od četiri lica može se smatrati bazom), takav tetraedar je također poznat kao "trouglasta piramida

Kao i svi konveksni poliedri, tetraedar može biti sastavljen iz jednog lista papira. On ima takvu mrežu.

Milo koji tetraedar ima sferu (zvanu cirkumsfera) na kojoj leže sva četiri i drugu sferu (insfera), koja je tangenta površina tetraedra.

Pravilni tetraedar[uredi - уреди | uredi izvor]

Pravilni tetraedar je onaj u kojem su sva četiri lica su istostrani trouglovi. To je jedan od pet pravilnih platonskih čvrstih tvari, koje su poznate od davnina.

Kod pravilnog tetraedra, ne samo da su sve njegove strane iste veličine i oblika (podudarne), nego su takvi i sve njegovi vrhova i rubovi.

Ploha sa pet tetraedra, sa najvišim 3-dimenzijskim tačkama označenim kao 1, 2, 3, 4, i 5.
Ove tačke se zatim međusobno vezane, a tanak volumen praznog prostora je lijevo gdje se pet rubnih uglova ne susreću u potpunosti.

Pravilni tetraedra nije samo popunjen prostor, nego ako je naizmeničan sa pravilnim oktaedrom, oni čine naizmenično kubno saće, koji je prazan.

Tetraedar je samo-dualan, što znači da je njegov dvojnik drugi tetraedar. Spoj slika sastoji se od dva takva dualna tetraedra koji formiraju zvjezdasti oktaedar ili zvjezdasti oktaugao.

Tretraedarske formula[uredi - уреди | uredi izvor]

Slijedeće Dekartove koordinate definiraju četiri tjemena tetraedra dužine ruba 2, centrirana prema porijeklu:

Drugi set koordinata se zasniva na naizmeničnoj kocki ili demikubu dužine ruba 2. Ovaj oblik ima Coxeterov dijagram 4x3 i Schläfli simbol h {4,3}. Tetraedar u ovom slučaju ima dužinu ruba 2. Invertiranje ove koordinate generira dualni tetraedar i taj par zajedno formira zvjezdasti oktaedar, čija tjemena su one originalne kocke .

Tetraedar: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
Dualni tetraedar: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)
Pravilni tetraedar ABCD i njegova kružna sfera

Za tetraedra dužine ruba a:

Površina lica
Površinsko područje[1]
Visina piramide[2]
Rubovi suprotne rubne distance
a[Volumen]][1]
Ugao lice-tjeme-rub
(približno 54,7356°)
Ugao lice-rub-lice, tj. "diedarski ugao"[1]
(približno 70,5288°
Centralni rubni ugao,[3][4] poznat kao tetraedarski ugao
(approx. 109.4712°)
Čvrsti ugao na tjemenu naspram lica
(približno 0,55129 steradijana)
Radijus cirkumsfere[1]
Radijus insfere koji je tangenta lica[1]
Radijus srednje sfere koja je tangenta rubovima[1]
Radijus eksfera
Distanca od centra eksfere do suprotnog tjemena

U odnosu na baznu ravni nagib lica (2Šablon:Sqrt) je dva puta veći od ivice (Šablon:Sqrt), što odgovara činjenici da je horizontalna udaljenost od baze do apeksa duž ivice dva puta veća od medijane lica. Drugim riječima, ako je C težište baze, udaljenost od C do tjemena baze je dvostruko veća od centralne tačke C do ruba baze. To proizlazi iz činjenice da je medijane trougla sijeku svojim težištem i tada dijele svaku od njih u dva segmenta, od kojih je jedan duplo veći, dok drugi dijeli svaku medijanu u omjeru 2 : 1.

Za pravilni tetraedar sa stranom dužine a, radijusom R njegove cirkumsfere i udaljenosti di iz proizvoljne tačke u 3-dimenzijskom prostoru za njegova četiri tjemena, imamo:[5]

Također pogledajte[uredi - уреди | uredi izvor]

Reference[uredi - уреди | uredi izvor]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, Harold Scott MacDonald; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948, Table I(i)
  2. Köller, Jürgen, "Tetrahedron", Mathematische Basteleien, 2001
  3. "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron", Maze5.net
  4. Valence Angle of the Tetrahedral Carbon Atom W.E. Brittin, J. Chem. Educ., 1945, 22 (3), p 145
  5. Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum, 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf



Pri tom je -{a}- dužina ivice tetraedra.