Kocka

Za ostale upotrebe, pogledajte Kocka (razvrstavanje).

U geometriji, kocka je pravilno geometrijsko tijelo, odnosno poliedar ograničen sa šest kvadrata (također se naziva i pravilni heksaedar).^[1] Pripada paralelepipedima.

Osobine

Kocka ima 12 ivica, 6 strana i 8 vrhova
Strane kocke su kvadrati, pa su i njene dimenzije (dužina, širina i visina) jednake $a$
Diedarski ugao između susjednih strana iznosi $90^{\circ }$ ( ${\frac {\pi }{2}}$ radijana).
Naspramne strane i naspramne ivice kocke su međusobno paralelne.
Svaka strana kocke graniči se sa četiri druge strane, a svaki vrh kocke spaja tri strane i tri ivice.
Postoji ukupno 11 različitih mreža kojima se može razviti površina kocke.^[2]

Formule za kocku stranice a

Mala dijagonala (dijagonala strane): $d=a{\sqrt {2}}$

Velika dijagonala (prostorna dijagonala kocke): $D=a{\sqrt {3}}$

Poluprečnik upisane sfere (sfere koja dodiruje strane): $r={\frac {a}{2}}$

Poluprečnik srednje sfere (sfere koja dodiruje ivice): $\rho ={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}$

Poluprečnik opisane sfere (sfere koja prolazi kroz vrhove): $R={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

Površina dijagonalnog presjeka: $P_{dp}=ad=a^{2}{\sqrt {2}}$

Površina kocke: $6a^{2}$ ili preko poluprečnika upisane sfere: $P=24r^{2}$

Zapremina kocke: $V=a^{3}$ ili preko poluprečnika upisane sfere: $V=8r^{3}$

Veza između zapremine i površine izražava se preko izvoda po poluprečniku upisane sfere:

${\frac {dV}{dr}}=P$

Jedinična kocka a=1

Kocka sa dužinom ivice $a=1$ naziva se jedinična kocka. . Ako je njen centar u koordinatnom početku $(0,0,0)$ , njeni vrhovi imaju koordinate $(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})$

Za jediničnu kocku važi:^[2]

Poluprečnik upisane sfere $r={\frac {1}{2}}=0,5$ (udaljenost od centra do središta bilo koje strane).

Poluprečnik srednje sfere $\rho ={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ (udaljenost od centra do središta bilo koje ivice).

Poluprečnik opisane sfere $R={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ (udaljenost od centra do bilo kojeg vrha).

Dualni poliedar jedinične kocke je pravilan oktaedar čija dužina ivice iznosi ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ (ukoliko su mu vrhovi u centrima strana kocke).

Poprečni presjeci jedinične kocke ravni koja prolazi kroz centar

Kada ravan siječe jediničnu kocku (centriranu u koordinatnom početku), oblik i metrička svojstva presjeka zavise od jednačine ravni:^[2]


Ravan	Oblik presjeka	Dužina ivica	Površina	Zapremina dijelova
$z=0$	kvadrat	1	1	${\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}$
$x+z=0$	pravougaonik	$1,{\sqrt {2}}\approx 1,414$	${\sqrt {2}}$ (Maksimalna površina)	${\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}$
$x+y+z=0$	šestougao ( heksagon)	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {3}{4}}{\sqrt {3}}\approx 1,299$	${\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}$

Karakteristike specifičnih presjeka

Maksimalna površina presjeka iznosi ${\sqrt {2}}$ . Dobija se siječenjem kocke ravni koja prolazi kroz dvije naspramne ivice i dvije naspramne dijagonale strana (npr. ravan $x+z=0$ ).

Pravilan šestougao se dobija kada ravan prolazi kroz središta šest ivica kocke (ravan $x+y+z=0$ ). Postoje četiri takve ose (prostorne dijagonale kocke) oko kojih se mogu dobiti ovakvi šestougaoni presjeci. Vrhovi ovog upisanog šestougla za jediničnu kocku su: $(0,-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}),({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},0),({\tfrac {1}{2}},0,-{\tfrac {1}{2}}),(0,{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}),(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},0),(-{\tfrac {1}{2}},0,{\tfrac {1}{2}})$

Ovaj šestougaoni oblik se jasno vidi kada se kocka posmatra ortogonalno duž pravca njene glavne prostorne dijagonale.

Pregled po dimenzijama

U zavisnosti od broja dimenzija $(n)$ , jedinična hiperkocka poprima različite oblike i dužine dijagonala:

Dimenzija (n)	Naziv objekta	Dužina najduže dijagonale
$n=1$	Jedinična duž (interval)	${\sqrt {1}}=1$
$n=2$	Jedinični kvadrat	${\sqrt {2}}\approx 1,414$
$n=3$	Jedinična kocka	${\sqrt {3}}\approx 1,732$
$n=4$	Jedinični teserakt (hiperkocka)	${\sqrt {4}}=2$
$n$	n-dimenzionalna hiperkocka	${\sqrt {n}}$

Vanjske veze

↑ „kocka”. Hrvatska enciklopedija. Pristupljeno 29.09.2026.
1 2 3 Weisstein, Eric W. „Cube”. wolfram Mathworld. Arhivirano iz originala na datum 2015-12-10. Pristupljeno 29.09.2026.

[1] „kocka”. Hrvatska enciklopedija. Pristupljeno 29.09.2026.

[:1-2] 1 2 3 Weisstein, Eric W. „Cube”. wolfram Mathworld. Arhivirano iz originala na datum 2015-12-10. Pristupljeno 29.09.2026.

[1]

[2]