Arkus sinus

Arkus sinus
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	[-1,1]
Kodomen	[-π/2,π/2]
Specifične vrednosti
Nule	0
Specifične osobine
Prevoji	(0,0)
Ulazak u nulu pod uglom	π/4

Arkus sinus je funkcija inverzna sinusnoj funkciji na njenom ograničenom intervalu [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla u ovom opsegu, kada je poznata vrednost njegovog sinusa.

Formule

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus sinus:

$\arcsin {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {x}$ (pravilo komplementarnih uglova)

$\arcsin {-x}=-\arcsin {x}$ (neparnost f-je)

$\arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}$

Preko formule za polovinu ugla se dobija i:

$\arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Izvod:

${\frac {d}{dx}}\arcsin x{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1$

Predstavljanje u formi integrala:

$\arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

Vanjske veze

• Funkcija arkus sinus na wolfram.com

Trigonometrijske i hiperbolične funkcije

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans Funkcija sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Inverzna arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Hiperbolična sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Inv. hiperbolična arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)