Jednakostranični trougao

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jednakostranični trougao, upisani i opisani krug

Jednakostranični trougao (u starijoj literaturi je moguće naći i izraze jednakostrani, ravnostrani) je trougao čije su sve stranice jednake

a=b=c\, odnosno AB=BC=CA\,

takođe, svi uglovi su jednaki

\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}=60^\circ.

Može se upisati i opisati krug. Poluprečnik opisanog kruga se označava sa R (velikim latiničnim slovom r), a poluprečnik upisanog sa r (malim latiničnim slovom r). Inače se poluprečnik obilježava sa "r" ili "R" (en. radius), a prečnik sa "d" ili "D" (en. diameter).

Jednakostraničan trougao se može naći u mnogim geometrijskim konstrukcijama. Pravilan šestougao se sastoji od šest jednakostraničnih trouglova. Tri od pet pravilnih poliedara (Platonova tela) sadrže jednakostranične trouglove kao stranice.

Ako se jednakostraničan trougao može smatrati pravilnom geometrijskom slikom sa najmanjim brojem temena odnosno stranica u ravni tada se pravilan tetraedar, koji se sastoji od četiri jednakostranična trougla, može smatrati analogonom u tri dimenzije, jer je on pravilno geometrijsko telo sa najmanjim brojem temena, ivica odnosno stranica.

Svojstva[uredi - уреди | uredi izvor]

Presek težišnih duži (T), presek visina (H), simetrala stranica (centar opisane kružnice O), simetrala uglova (centar upisane kružnice O) se seku u jednoj tački.

Presek težišta, ortocentra, simetrale ugla simetrale stranice

Težišne duži su međusobno jednake.


t_a=t_b=t_c=t\,


Visine su međusobno jednake.


h_a=h_b=h_c=h\,

Težišne duži su podudarne visinama. Takođe, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.


h\cong t\,

Težišne duži se seku u razmeri 2:1, odnosno tačka u kojoj se seku sve duži deli duž u odnosu 2:1.
Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine[uredi - уреди | uredi izvor]

\frac{R}{r}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{6} a}=\frac{6}{3}=2[1]

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

\frac{\frac{3a^2 \pi}{36}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{12a^2\pi}{36a^2\sqrt{3}} =   \frac{\pi}{3\sqrt{3}}

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{1}{12\sqrt{3}}

Ako su vrhovi A_1 A_2 A_3 trougla A_1A_2A_3 određeni su kompleksnim brojevima z_1, z_2, z_3 respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao
  2. \mid z_1 -z_2\mid =\mid z_2 -z_3\mid =\mid z_3 -z_1\mid
  3. z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2Z_3+z_3z_1
  4. \frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}
  5. \frac{1}{z-z_1}=\frac{1}{z-z_2}=\frac{1}{z-z_3} za z= \frac{z-1+z_2+z_3}{3}
  6. (z_1+ \epsilon z_2+\epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+\epsilon z_3)=0 za \epsilon=cos \frac{2\pi}{3}+ i sin\frac{2\pi}{3}
  7. 
\begin{vmatrix}
  1 & 1  & 1\\
  z_1 & z_2  & z_3 \\
  z_2 & z_3  & z_1
\end{vmatrix}=0

Ako su A1(a_1), A_2(a_2) i A_3(a_3) vrhovi pozitivno orijentisanog trougla A_1A_ 2A_3, onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

  1. A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao;
  2. z_3- z_1 = \epsilon(z_2 - z_1), gde je \epsilon=cos \frac{\pi}{3}+ i sin\frac{\pi}{3}
  3. z_2- z_1 = \epsilon(z_3 - z_1), gde je \epsilon=cos \frac{5\pi}{3}+ i sin\frac{5\pi}{3}
  4. z_1+ \epsilon z_2+\epsilon^2 z_3=0

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti p, q i t od vrhova A, B, i C, važi

3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2)^2

Za bilo koju tačku P upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima p, q i t od vrhova važi

4(p^2+q^2+t^2)=5a^2

Konstrukcija[uredi - уреди | uredi izvor]

malo

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

malo

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Površina[uredi - уреди | uredi izvor]

Razmera težišnih duži

Površina se može izračunati standardnom formulom:P=\frac {a\cdot h}  {2} ali postoje i druge formule koja važe za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla:

P=\frac {a^2\cdot \sqrt[] 3} {4}=\frac {h^2 \cdot \sqrt[] 3} {3}


malo

Formulu za površinu

P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme[uredi - уреди | uredi izvor]

A = \frac{1}{2} ah.

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2

h = \frac{\sqrt{3}}{2}a.

P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.

Pomoću trigonometrije[uredi - уреди | uredi izvor]

P = \frac{1}{2} ab \sin C.

P = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.

P = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2

Visina[uredi - уреди | uredi izvor]

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dve formule:

Prva je uobičajena i povezuje se sa dužinom stranice:

h=\frac {a \cdot\sqrt[]{3}} {2},

a druga je izvedena iz formule za površinu:

P=\frac {h^2 \cdot \sqrt[] 3} {3}h=\sqrt[] \frac {3P} {\sqrt[] 3} kada se racionališe i skrati dobija se h=\sqrt[]\frac{3P \, \sqrt[]3}{3}= \sqrt[]{{P} \, {\sqrt[] 3}} .

Zanimljivosti[uredi - уреди | uredi izvor]

Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

Davidova zvezda, simbol jevrejskog naroda, se sastoji od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvesna religiozna značenja.

Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, je bio oblika jednakostraničnog trougla.

Povezano[uredi - уреди | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi - уреди | uredi izvor]

  1. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
  2. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem
  3. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers
  4. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities
  5. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
  6. Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Reference==

  1. Odnos poluprečnika upisanog i opisanig kruga