Vektorsko polje

Vektorsko polje oblika f(x,y)=(−y, x)

U matematici i fizici vektorsko polje je polje, koje svakoj točki lokalno Euklidskog prostora pridružuje vektorsku veličinu.

Neki od diferencijalnih operatori primjenjivih na vektorsko polje su divergencija i rotacija.

Formalna definicija

Neka je $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i neka $X_{0}$ označava skup svih radij-vektora u koordinatnom sustavu $\left(O,x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}\right);k=\dim D$, tj.

$X_{0}=\{{\overrightarrow {OM}}|M=(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k})\in \mathbb {R} ^{n}\}$.

Kažemo da je funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija ili vektorsko polje) svaka funkcija

${\overrightarrow {\textbf {W}}}:D\mapsto X_{0}.$

Drugim riječima, vektorsko polje je prostorna funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor.

Potencijalno vektorsko polje

Solenoidno vektorsko polje

Laplaceovo vektorsko polje

Opće vektorsko polje

Transformacije sustava

Neka je $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ i $V_{x}:S\mapsto \mathbb {R} ^{n}$ vektorsko polje u euklidskim koordinatama. Ukoliko je $Y$ neki drugi koordinatni sustav na S, tada je izraz za to vektorsko polje u sustavu $Y$:

$V_{Y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}.$

Napomene

Za V se kaže da je C^k vektorsko polje, ako je ono k puta diferencijabilno.

Jako je važno razlikovati vektorsko i skalarno polje! Što vrijedi za vektore i skalare, isto vrijedi i ovdje: glavna i bitna razlika je u koordinatnim transformacijama: skalar sam po sebi jest koordinata, dok je vektor opisan koordinatama, ali sam po sebi nije kolekcija koordinata. Tako i skalarno polje svakoj točki prostora pridružuje koordinate, a vektorsko vektore.

Primjene

Vektorska polja se najviše primjenjuju u fizici, npr.

• Brzinu vjetra možemo zamisliti kao vektorsko polje u $\mathbb {R} ^{7}$ (!), gdje je svaka točka opisana sa sedam koordinata: $\left(v_{x},v_{y},v_{z},t,x,y,z\right)$ (polje je zavisno o vremenu!).
• Brzina protjecanja fluida kroz cijev.
• Opis magnetskog djelovanja.
• Opis električnog djelovanja.
• Gravitacija.

Podjela

Prema divergenciji i rotaciji, vektorska polja dijelimo na:

• Potencijalno ili bezvrtložno:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}$

• Solenoidno ili bezizvorno:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

• Laplaceovo:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}=0{\mbox{ (svuda)}}$

• Polje općeg oblika ili složeno polje:

${\mbox{rot}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}$

${\mbox{div}}\,{\overrightarrow {W}}\neq 0{\mbox{ (barem u nekim tačkama)}}$

Povezani pojmovi

• Tok polja
• Divergencija
• Rotacija polja
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Elektromagnetsko polje

Vanjske veze

• Skalarna i vektorska polja. Gradijent.
• Skalarna i vektorska polja.
• Wolfram: Vector Fields
• 2D Vector Field Simulation
• 3D Vector Field Simulation