Euklidski prostor

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

Neka je V realni vektorski prostor i neka je \psi: V\times V \to \mathbb{R} preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo v\cdot w umjesto \psi (v,w)) za svaki u, v, w, \in V i  \alpha \in \mathbb{R}  :

  1.  v\cdot w = w \cdot v;
  2.  (u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w;
  3.  \alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w = v\cdot (\alpha w);
  4.  w\cdot w > 0 \mbox{ ako i samo ako je } v\neq 0.

Tada se \psi zove skalarni produkt na V .

Ako na V postoji skalarni produkt, onda se V zove euklidski vektorski prostor.

Euklidska norma[uredi - уреди | uredi izvor]

Euklidska norma ili duljina vektora w je broj

 \| w \| = \sqrt{w\cdot w}.

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem \varphi :

 v\cdot w = \| v \| \cdot \| w \| \cdot \cos \varphi,

tj. kut \varphi između vektora v, w \in V definiran je s

\varphi = \arccos \left( \frac{v\cdot w}{\| v \| \cdot \| w \|} \right) .

Ako je v\cdot w = 0 , očito je \varphi = \frac{\pi}{2} , pa kažemo da su v i  w okomiti ili ortogonalni vektori.

Vezani pojmovi[uredi - уреди | uredi izvor]