Mengerova spužva

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Mengerova spužva

Mengerova spužva je fraktal kojeg je opisao austrijski matematičar Karl Menger 1926. godine. To je trodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog. Često se naziva Sierpiński-Mengerovom spužvom ili, netočno, samo spužvom Sierpińskog. Svaka strana Mengerove spužve je tepih Sierpińskog, a svaka dijagonala Cantorov skup. Fraktalna joj je dimenzija \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2.7268.

Konstrukcija[uredi - уреди | uredi izvor]

Počinje se s kockom (nulta iteracija) koja se podijeli na 27 jednakih kocaka (duljine stranice 1/3 početne). Nakon toga oduzme se 7 kocaka: središnja i 6 u središtima strana početne kocke (prva iteracija). Postupak se ponovi s preostalih 20 kocaka. Mengerova se spužva dobije kad broj iteracija teži u beskonačno. Na slici ispod su prikazane nulta i prve tri iteracije.

Menger sponge (Level 0-3).jpg

Kao sustav iteriranih funkcija (IFS)[uredi - уреди | uredi izvor]

Moguće ju je načiniti pomoću 20 transformacija vjerojatnosti po 5%. Dvije su napisane u tablici, ostale se mogu dobiti analogijom iz transformacijâ za tepih Sierpińskog.

vjerojatnost transformacije
5% x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n

y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n
z_{n+1} = \frac{1}{3} z_n

5% x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3}

y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n
z_{n+1} = \frac{1}{3} z_n

itd.


Vidi još[uredi - уреди | uredi izvor]