Tepih Sierpińskog

Izvor: Wikipedia
tepih Sierpińskog nakon šest iteracija

Tepih Sierpińskog je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1916. godine. Vrlo je sličan istoimenom trokutu, ali ima veću fraktalnu dimenziju, \frac{\log 8}{\log3} \approx 1.8928.


Konstrukcija[uredi - уреди | uredi izvor]

Počinje se od kvadrata (nulta iteracija) koji se podijeli u 9 sukladnih kvadrata (duljine stranice 1/3 početnog). Srednji se kvadrad oduzme (prva iteracija), a postupak se ponavlja s preostalih 8. Tepih Sierpińskog nastaje nakon beskonačnog broja iteracija.

Kao sustav iteriranih funkcija (IFS)[uredi - уреди | uredi izvor]

Tepih Sierpińskog može se dobiti i primjenjujući ove transformacije:

vjerojatnost transformacije objašnjenje
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n
kvadrat dolje lijevo
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3}
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n
kvadrat dolje u sredini
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3}
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n
kvadrat dolje desno
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{1}{3}
kvadrat u sredini lijevo
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3}
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{1}{3}
kvadrat u sredini desno
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3}
kvadrat gore lijevo
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{1}{3}
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3}
kvadrat gore u sredini
\frac{1}{8} x_{n+1} = \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3}
y_{n+1} = \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3}
kvadrat gore desno


Mengerova spužva[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Mengerova spužva

Trodimenzionalni analogon tepihu Sierpińskog naziva se Mengerova spužva. Dobiva se jednostavnom analogijom gdje se umjesto kvadrata uzimaju kocke. No, ne oduzima se samo središnja od 27 kocaka prve iteracije, nego i još 6 kocaka u središtima strana početne kocke.


Vidi još[uredi - уреди | uredi izvor]