Električni potencijal

Izvor: Wikipedia

Bilo koja tačka prostora ima električni potencijal čija potencijalna energija po jedinici nelektrisanja ima neku vrednost a nalazi se u statičkom (vremenski nepromenljivom) električnom polju. To je skalarna veličina, uobičajeno izražena u voltima. Razlika električnog potencijala između dve tačke u prostoru, naziva se napon.

Takođe, imamo jedinstveni električni skalarni potencijal koji se koristi u elektrodinamici kada imamo vremenski promenljivo električno polje. Međutim, ovaj generalizovani električni potencijal se ne može jednostavno predstaviti kao potencijal energije po jedinici naelektrisanja.

Uvod[uredi - уреди]

Poznato je da neki predmeti mogu imati električni naboj (potencijal). Električno polje vrši pomeranje naelektrisanih čestica, ubrzavajući ih u smeru vektora električnog polja, odnosno u smeru ili nasuprot smeru vektora električnog polja, u zavisnosti od vrste naelektrisanja. Ukoliko je naelektrisana čestica naelektrisana pozitivnim naelektrisanjem, sila delovanja i ubrzanja te čestice će biti u smeru sa električnim poljem, a vrednost sile koja deluje, određena je veličinom naelektrisanja čestice i vrednošću električnog polja.

Klasična mehanika izučava oblasti sile i energije sa više detalja.

Sila i potencijalna energija su u direktnom odnosu. Kako se čestica kreće u smeru u kojem ga sila ubrzava, njena potencijalna energija se smanjuje. Na primer, gravitaciona potencijalna energija topovskog đuleta ima veću potencijalnu energiju na vrhu brda, nego na dnu. Kako objekat pada, potencijalna energija se smanjuje na račun inercijalne (kinetičke) energije.

Potencijal električnog polja se naziva električni potencijal.

Električni potencijal i vektor magnetnog potencijala formiraju četvrti vektor, tako da su ova dva potencijala pomešani i definisani Lorencovim transformacijama.

Matematički uvod[uredi - уреди]

Pojam električnog potencijala (definisan: \phi, \phi_\mathrm{E} ili V) usko je povezan sa potencijalnom energijom, pa stoga:


U_ \mathrm{E} = q\phi

gde U_\mathrm{E} je potencijal električne energije čestice q u električnom polju.

Ispravno, definicija električnog potencijala koristi pojam električnog polja \mathbf{E}:


\phi_ \mathrm{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{\ell}

gde je C putanja koja povezuje tačke sa nula potencijala i onu tačku za koju se potencijal izračunava. Kada je \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = 0, linijski integral iznad gore ne zavisi od specifične putanje C, već samo od krajnjih tački. Krajnje, električni potencijal definiše električno polje preko gradijenta potencijala:


\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E}

i prema tome, po Gausovom zakonu, potencijal zadovoljava Poasonove jednačine:


\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \mathbf{\nabla} \cdot \left (- \mathbf{\nabla} \phi_\mathrm{E} \right) = -\nabla^2 \phi_\mathrm{E} = \rho / \varepsilon_0

gde je ρ ukupna gustina naelektrisanja (uključujući Vezana naelektrisanja).

Pažnja:ove jednačine se ne mogu koristiti ako \mathbf{\nabla}\times\mathbf{E} \ne 0, u slučaju ne zatvorenog vektora polja (izazvanog promenom magnetskog polja, vidite Maksvelove jednačine).

Uvod u elektromagnetizam[uredi - уреди]

Kada su prisutna vremenski promenljiva magnetna polja (što se dešava onda kada imamo vremenski promenljiva električna polja i obrnuto), ne može se biti opisano električno polje samo pomoću skalarnog potencijala \phi; zato što električno polje više nije konzervativno: \int \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} a integracija je zavisna zbog \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}\neq 0.

Umesto toga, može se definisati skalarni potencijal preko vektora magnetnog potencijala \mathbf{A}. U suštini, \mathbf{A} se definiše preko:

\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}

gde je \mathbf{B} gustina fluksa magnetskog polja (takođe poznat kao magnetna indukcija ili magnetsko polje). Uvek se može pronaći takvo \mathbf{A} zato što \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 (odsustvo magnetnog monopola). Vrednost \mathbf{F} = \mathbf{E} + \partial\mathbf{A}/\partial t je konzervativno polje određeno faradejevim zakonom i može se pisati:

\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

gde je φ skalarni potencijal opisan konzervativnim poljem \mathbf{F}.

Elektrostatički potencijal, jednostavno je poseban slučaj ove definicije gde je \mathbf{A} vremenski nepromenljiva vrednost. Sa druge strane, za vremenski promenljiva polja važi sledeće \int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \neq \phi(b) - \phi(a).

Obratite pažnju da ova definicija φ zavisi od normiranja potencijalne funkcije za vektor potencijala \mathbf{A} (gradijent bilo kojeg skalarnog polja može biti dodat \mathbf{A} bez menjanja \mathbf{B}). Jedan način je da #Kulonov kalibracioni uslov (za potencijal) Normiranje potencijalne funkcije, u kojem ćemo izabrati uslov da je \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = 0. U ovom slučaju, dobijamo -\nabla^2 \phi = \rho/\varepsilon_0, gde je ρ gustina naelektrisanja. Drugi način je Lorencov kalibracioni uslov, u kojem usvajamo \mathbf{A} da bi zadovoljili \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A} = - \frac{1}{c^2} \frac{\partial\phi}{\partial t}.

Posebni slučajevi i primeri izračunavanja[uredi - уреди]

Električni potencijal u tački \mathbf{l} u konstantnom električnom polju \mathbf{E} može se predstaviti:

\phi_\mathrm{E} = - \int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l}.

Električni potencijal oko punktualnog naelektrisanja q, na udaljenosti r od naelektrisanja, računa se:

\phi_\mathbf{E} = \frac{q} {4 \pi \epsilon_o r}.

Ukupan potencijal niza punktualnih naelektrisanja jednak je sumi individualnih potencijala svih naelektrisanja. Ova činjenica pojednostavljuje proračun u velikoj meri, zbog toga što je sabiranje potencijala (skalarno) polja mnogo jednostavnije nego sabiranje vektora električnog polja.

Električni potencijal nastao od trodimenzionalnog sferno simetričnog Gausovog naelektrisanja gustine  \rho(r) given by:

 \rho(r) = \frac{q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}},

gde je q količina naelektrisanja, dobijen je rešavanjem Poasonove jednačine:

\nabla^2 \phi_\mathbf{E} = - 4 \pi \rho.

rešenje je preko:

 \phi_\mathbf{E}(r) = \frac{q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

gde je erf(x) funkcija greške. Ovo rešenje se može proveriti opreznom ručnom evaluacijom \nabla^2 \phi_\mathbf{E}. Obratite poažnju, da za r mnogo veće od σ, erf(x) potencijal \phi_\mathbf{E} postaje po vrednosti bliži potencijalu punktualnog naelektrisanja \frac{q}{r}.

Primena u elektronici[uredi - уреди]

Električni potencijal, uobičajeno meren u voltima, obezbeđuje jednostavan način analiziranja električnih kola bez prethodnog poznavanja oblika kola ili polja u njima.

Električni potencijal obezbećuje jednostavan način analize električnih kola uz pomoć Kirhofovih zakona, bez potpunog rešavanja Maksvelovih jednačina za statička električna polja.

Jedinice[uredi - уреди]

SI jedinica za električni potencijal je volt (u čast Alesandro Volta), i u toliko širokoj upotrebi je da su termini napon i električni potencijal postali sinonimi. Starije jedinice su retke. Varijante jedinice električnog potencijala su statvolt (= 299.792 458 V) i abvolt koji je ≡ 1×10−8 V.

Literatura[uredi - уреди]

  • Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
  • Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics, 3rd ed., New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
  • Electromagnetic Fields (2nd Edition), Roald K. Wangsness, Wiley, 1986. ISBN 0-471-81186-6.

Spoljašnje veze[uredi - уреди]