Parcijalna integracija

Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija

U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

Pravilo

Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$ gdje koristimo standardne oznake

$\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je

$f(b)g(b)-f(a)g(a)\,$	$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx$
	$=\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.$

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,$

ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$

Primjeri

Kako bi izračunali

$\int x\cos(x)\,dx$

napišemo:

u = x, tako da je du = dx,

dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).

Zatim:

${\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C\end{aligned}}$

gdje je C arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

$\int x^{3}\sin(x)\,dx\quad {\mbox{and}}\quad \int x^{2}e^{x}\,dx$

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

$\int e^{x}\cos(x)\,dx$

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u = cos(x); thus du = -sin(x)dx

dv = e^xdx; thus v = e^x

Zatim:

$\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx$

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:

u = sin(x); du = cos(x)dx

v = e^x; dv = e^xdx

Zatim:

$\int e^{x}\sin(x)\,dx$	$=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx$

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

$\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx$

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

$2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}(\sin(x)+\cos(x))$

$\int e^{x}\cos(x)\,dx={e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \over 2}$

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:

$\int \ln(x)\cdot 1\,dx$

Napišimo:

u = ln(x); du = 1/x dx

v = x; dv = 1·dx

Zatim:

$\int \ln(x)\,dx$	$=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx$
	$=x\ln(x)-\int 1\,dx$

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-{x}+{C}$

$\int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C$

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:

$\int \arctan(x)\cdot 1\,dx$

Napišimo:

u = arctan(x); du = 1/(1+x²) dx

v = x; dv = 1·dx

Zatim:

$\int \arctan(x)\,dx$	$=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=x\arctan(x)-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

Kulturološke reference

• Metoda tabularne parcijalne integracije pojavila se u filmu Stand and Deliver iz 1988. godine.

Vanjske veze

• Parcijalna integracija - sa MathWorld
• Tabularna parcijalna integracija
• Demonstrirana tabularna parcijalna integracija Arhivirano 2007-03-10 na Wayback Machine-u