U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.
Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo
gdje koristimo standardne oznake
Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je
|
|
|
|
U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi
ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:
Kako bi izračunali
napišemo:
- u = x, tako da je du = dx,
- dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).
Zatim:
gdje je C arbitražna konstanta integracije.
Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su
mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.
Interesantan primjer je sljedeći:
gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.
Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:
- u = cos(x); thus du = -sin(x)dx
- dv = exdx; thus v = ex
Zatim:
Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:
- u = sin(x); du = cos(x)dx
- v = ex; dv = exdx
Zatim:
|
|
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo
Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:
Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.
Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:
Napišimo:
- u = ln(x); du = 1/x dx
- v = x; dv = 1·dx
Zatim:
|
|
|
|
gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije
Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:
Napišimo:
- u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
- v = x; dv = 1·dx
Zatim:
|
|
|
|
koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.