Imaginarna jedinica

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Disambig.svg
Za drugu upotrebu, pogledajte članak Broj (višeznačna odrednica).
Stepeni broja i se ciklično ponavljaju:
(ponavlja se deo označen plavom bojom)
(ponavlja se deo označen plavom bojom)

U matematici, fizici i inžinjerstvu, imaginarna jedinica se označava kao  ili latinično   ili grčkim slovom Jota (pogledati alternativne notacije ispod). Ona dozvoljava da se sistem realnih brojeva proširi na sistem kompleksnih brojeva,   Precizna definicija je zavisna od određenog metoda proširenja.

Osnovna motivacija za ovo proširenje je činjenica da postoje polinomijalne jednačine sa realnim koeficijentima koje nemaju rešenja sa realnim brojevima. Konkretnije, jednačina nema realnih rešenja (pogledati definiciju ispod). Ako bismo dozvolili kompleksne brojeve kao rešenja, onda bi svaka polinomijalna jednačina nenultog stepena imala rešenje.

Imaginarna jedinica se ponekad naziva i „kvadratni koren od minus jedan“, ali pogledajte ispod teškoće koje može prouzrokovati naivno iskorišćavanje ove ideje.


Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

Po definiciji, imaginarna jedinica je jedno od rešenja (drugo rešenje je ) kvadratne jednačine

ili, ekvivalentno

Pošto nema realnih brojeva kojima se dobija negativan broj kada se kvadriraju, mi imaginarno zamišljamo takav broj i dodeljujemo mu simbol i. Važno je shvatiti da je i validna matematička konstrukcija, isto kao i realni brojevi, iako to nije odmah intuitivno jasno i iako mu samo ime ne sugeriše to.

Operacije nad realnim brojevima se mogu proširiti na imaginarne i kompleksne brojeve smatrajući i nepoznatom u radu sa izrazom, a onda koristeći definiciju da se zameni svako pojavljivanje i 2 sa −1. Stepeni broja veći od dva se takođe zamenjuju sa −i, 1, , ili −1:

i i −i[uredi - уреди | uredi izvor]

Pošto je jednačina koja definiše imaginarnu jedinicu x2 + 1 = 0 jednačina drugog reda bez realnih rešenja, ona mora da ima dva rešenja koja su oba ispravna i koja su suprotnih znakova i recipročna su. Preciznije, kada smo fiksirali jedno rešenje jednačine , vrednost − (koja nije jednaka ) je takođe rešenje. Pošto je ova jednačina jedina definicija broja , deluje da ova definicija nije dobro definisana jer su i i − dobri kandidati za vrednost imaginarne jedinice pošto među njima nema kvalitativnih razlika (što se ne može reći za -1 i +1). Ipak, ukoliko usvojimo jedno od ovih rešenja za „pozitivno ", ovakvih problema nema. Čak i kada bi se u svim matematičkim knjigama zamenili svako pojavljivanje + sa − (a time i svako pojavljivanje − sa −(−) = +), sve teoreme bi važile i dalje. Dakle, razlika između dva korena jednačine , od kojih je jedan „pozitivan“, a drugi „negativan“ je čisto notaciona zaostavština; nijedan od njih nije fundamentalno važniji od drugog.

Sličan problem se javlja i kada kompleksne brojeve predstavljamo kao 2 × 2 realne matrice, jer su onda i

kao i

rešenja matrične jednačine

U ovom slučaju, neslaganje nastaje od geometrijskog izbora na koju stranu oko jediničnog kruga je „pozitivna“ rotacija. Preciznije objašnjenje je da automorfna grupa specijalne ortogonalne grupe SO (2, R) ima tačno 2 elementa – identitet i automorfizam koji dele smer „u smeru kretanja kazaljke na satu“ i smer „suprotno od smera kretanja kazaljke na satu“. Videti ortogonalne grupe.

Sva ova neslaganja se mogu rešiti usvajanjem rigoroznije definicije kompleksnih brojeva kroz polje kompleksnih brojeva i eksplicitnije odabiranje jednog od rešenja gorepomenute jednačine da bude imaginarna jedinica. Primer je uređen par (0, 1), u uobičajenoj predstavi kompleksnih brojeva, kao dvodimenzionalni vektor.

Pravilna upotreba[uredi - уреди | uredi izvor]

Imaginarna jedinica se ponekad piše kao u naprednijim matematičkim kontekstima. Ipak, dosta se pažnje treba posvetiti kada se radi sa formulama koje uključuju i N-te korene. Ovakva notacija je rezervisana ili za glavnu funkciju kvadratnog korena, koja je definisana samo za realne brojeve ≥ 0, ili za generalni kvadratni koren nad kompleksnim brojevima. Ako se pokuša primena pravila koja važe za kvadratni koren nad realnim brojevima da bi se manipulisalo formulama u kojima se radi sa kvadratnim korenima nad kompleksnim brojevima, dobiće se pogrešni rezultati:

   (netačno).

Ako se pokuša ponovo ova računica, ali ako vodimo računa da koren može biti i pozitivan i negativan, dobićemo dvosmislen rezultat:

   (dvosmisleno).

Pravilo u računanju

važi samo za realne, nenegativne vrednosti i .

Za detaljniju diskusiju oko ovog fenomena, pogledajte kvadratni koren.

Da bi se izbegle ovakve greške kada se radi sa kompleksnim brojevima, pravilo je da se nikad ne koristi negativni broj pod korenom. Na primer, umesto da se piše izraz , može se napisati umesto njega. Ovo je upotreba za koju je imaginarna jedinica i smišljena.

Kvadratni koren imaginarne jedinice[uredi - уреди | uredi izvor]

Pri prvom susretanju sa imaginarnom jedinicom, desi se da se pomisli da još jedan skup imaginarnih brojeva mora biti izmišljen da bi se izračunao kvadratni koren od i. Ipak, ovo nije potrebno jer se on može izraziti kao bilo koji od sledeća dva kompleksna broja.[1]

Lako se pokazuje da su ovo koreni imaginarne jedinice, kvadriranje desne strane daje:

Recipročna vrednost broja i[uredi - уреди | uredi izvor]

Recipročna vrednost imaginarne jedinice se lako nalazi:

.

Stepeni broja i[uredi - уреди | uredi izvor]

Vrednosti stepena broja se ciklično ponavljaju:

Ovo se može izraziti preko sledeće formule, gde je n bilo koji ceo broj:

Ovo vodi zaključku da je:

gde mod 4 predstavlja moduo po osnovi 4.

Ojlerova formula[uredi - уреди | uredi izvor]

Ojlerova formula glasi

,

gde je x realan broj. Ova formula se može analitički proširiti za kompleksne vrednosti broja x.

Zamenjujući dobija se

i dolazi se do elegantnog Ojlerovog identiteta:

Ova izuzetno jednostavna jednačina spaja 5 najznačajnijih matematičkih veličina (0, 1, π, e, i i) osnovnim operacijama sabiranja, množenja i stepenovanja.

Primer[uredi - уреди | uredi izvor]

Zamenom gde je N proizvoljni ceo broj daje

Ili, dizanjem obe strane na stepen ,

ili

,

što pokazuje da ima beskonačno mnogo elemenata oblika

gde je N bilo koji ceo broj. Ova vrednost, iako realna, nije jedinstveno određena. Razlog je što je funkcija kompleksnog algoritma funkcija sa više rešenja.

Uzimajući N = 0 pruža nam glavnu vrednost

Operacije sa brojem i[uredi - уреди | uredi izvor]

Mnoge matematičke operacije koje se mogu izvesti sa realnim brojevima takođe se mogu izvesti i sa , kao stepenovanje, korenovanje, logaritmovanje i trigonometrijske funkcije.

Broj x dignut na stepen je:

-ti koren broja x je:

Logaritam za imaginarnu osnovu broja x je:

Kao i kod svakog logaritma, i logaritam za osnovu i nije svuda definisan.

Kosinus broja je realan broj:

A sinus broja je imaginaran:

Alternativne notacije[uredi - уреди | uredi izvor]

  • U elektrotehnici i srodnim naukama, imaginarna jedinica se često piše kao , da bi se izbegla zabuna sa električnom strujom kao funkcijom vremena, označenom sa ili samo   U programskom jeziku Pajton se imaginarna jedinica takođe označava sa j, dok se u Matlabu obe notacije (i i j) koriste da označe imaginarnu jedinicu.
  • Posebna pažnja se mora posvetiti u nekim knjigama koje definišu j = −i, uglavnom za neke tipove putujućih talasa.
  • U nekim tekstovima se koristi Jota (ι) za pisanje imaginarne jedinice da bi se izbegla konfuzija. Na primer Bikvaternion.

Reference[uredi - уреди | uredi izvor]