Jedinični krug

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Koordinate na jediničnom krugu

Jedinični krug je definisan kao krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom (radijusom) i čiji se centar u koordinatnom početku (0,0. Jedinični krug siječe x-osu u tačkama i i y-osu u tačkama i .

Ortogonalna projekcija tačke na x osu je , a na y- osu . Duži i su katete pravouglog trougla čije su dužine x i y.

je horizontalna a vertikalna dužina. Ugao je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:

Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju jednačinu

Pošto je prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije[uredi - уреди | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije kod jediničnog kruga (Animacija)

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravouglih trougla mogu se prikazati odnosi između koordinata i uglova na jediničnom krugu. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:

Jednačina daje poznatu relaciju

  α sin α cos α tg α cotg α
1. kvadrant 0–90° + + + +
2. kvadrant 90–180° +
3. kvadrant 180–270° + +
4. kvadrant 270–360° +


Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od . Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla. Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate

Rational parameterization of unit circle.svg


Druge tačke su određene koordinatama

Zamjenom dobijamo pitagorine trojke .

Kompleksna ravan[uredi - уреди | uredi izvor]

U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom

Također pogledajte[uredi - уреди | uredi izvor]

Izvori[uredi - уреди | uredi izvor]

Unit Circle

Jedinični krug