Tejlorova formula

Izvor: Wikipedia
Aproksimacija funkcije f(x) = 1/(1 + x2) njenim Tejlorovim polinomom Pk reda k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (crvena boja) i x = 1 (zelena boja). Aproksimacije nisu zadovoljavajuće van intervala (-1,1) i (1-√2,1+√2), respektivno.

Tejlorova formula, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma.

Tejlorov polinom[uredi - уреди]

Glavni članak: Tejlorov polinom

Tejlorov polinom za neku funkciju f(x) i datu tačku a je definisan na sledeći način:


T_n (x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +  \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n 
= \sum_{k=0}^{n} \left (\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k \right )

Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo ostatkom R_n^a (x) polinoma i on iznosi:

R_n^a (x) = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku a koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

f(x) = T_n(x) + R_n(x)

Dokaz[uredi - уреди]

Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti indukcijom.

Baza indukcije:

n=0
f(x) = f(a) + \int_a^x 1 \cdot f'(t) dt.

Da Tejlorova formula važi za n=1 možemo dokazati putem parcijalne integracije:

f(x) = f(a) +f'(a)\,(x-a)+\int_a^x (x-t)^1 \, f''(t) \, dt

Korak indukcije: Uzmimo onda da za neko n - 1 važi:


f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x - a)^{n-1} + 
\int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt

Dokaz:

 n-1 \rightarrow n

R_{n-1}^a(x)
= \int_a^x \frac{f^{(n)} (t)}{(n-1)!} (x - t)^{n-1} \, dt
= \frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} (x-t)^{n-1} f^{(n)}(t)dt

Koristimo \frac{d}{dt} \left (\frac{(x-t)^n}{n} \right) = -(x-t)^{n-1}:


R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!} \int_{a}^{x} \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n}) \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t)dt

R_{n-1}^a(x)= - \int_{a}^{x} \underbrace { \frac{d}{dt}(\frac{(x-t)^{n}}{n!}) }_{u'} \underbrace{\frac{d^{n}}{dt^{n}} f(t)}_{v} dt

Parcijalnom integracijom:


R_{n-1}^a(x)= -\left[ \underbrace{ \frac{(x-t)^n}{n!} }_u \underbrace { \frac{d^n}{dt^n}f(t) }_v \right]^{x}_{a} + \int_{a}^{x} \underbrace{\frac{(x-t)^n}{n!}}_u \underbrace{\frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)}_{v'}dt

R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \frac{1}{n!} \int_{a}^{x} (x-t)^n \frac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}f(t)dt

R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} {(x-a)}^n + \int_{a}^{x} \frac{ f^{(n+1)}(t) }{n!} (x-t)^n dt

\Rightarrow
f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)
,

što smo i hteli da dokažemo.

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku[uredi - уреди]

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku se dobija kada se na izraz Tejlorove formule


\Rightarrow
f(x) = T_{n-1}(x) + R_{n-1}(x) = T_n(x) + R_n(x)

primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:


R_n^a (x) 
 = \frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt
 = f^{(n+1)}(\xi) \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} dt
 = f^{(n+1)}(\xi) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} 
, gde je  a < \xi < x

Primer[uredi - уреди]

Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.

Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.

Za sinus znamo da važi:

f(x) = \sin(x), f'(x) = \cos(x), f''(x) = -\sin(x)

Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:

n=1, a = 0
\sin(x) \approx T_1(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} \cdot (x - a) = \sin(0) + \cos(0) \cdot x =  x

U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:

R_1(x) = \int_0^x (x-t) f''(t) dt = \sin(x) - x najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi:
R_1(0.5) = -0.020574, što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.

Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke a.

Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji.

Prikazane su aproksimacije funkcije \sin(x) za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):

Taylorpolynom sin.png

Vidi još[uredi - уреди]

Literatura[uredi - уреди]

  • Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.