Taylorova formula

Aproksimacija funkcije f(x) = 1/(1 + x²) njenim Tejlorovim polinomom P_k reda k = 1, ..., 16 centrirana u x = 0 (crvena boja) i x = 1 (zelena boja). Aproksimacije nisu zadovoljavajuće van intervala (-1,1) i (1-√2,1+√2), respektivno.

Tejlorova formula, koja je dobila ime po matematičaru Bruku Tejloru, koristi se za približno izračunavanje funkcija u okolini neke određene tačke uz pomoć Tejlorovih polinoma.

Tejlorov polinom

Tejlorov polinom za neku funkciju $f(x)$ i datu tačku $a$ je definisan na sledeći način:

$T_{n}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {f^{k}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)$

Pošto se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi nekakva greška, deo za koji se razlikuje funkcija i polinom nazivamo ostatkom $R_{n}^{a}(x)$ polinoma i on iznosi:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt$

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku $a$ koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

Dokaz

Dokaz da se svaka funkcija može predstaviti kao zbir Tejlorovog polinoma i njegovog ostatka možemo sprovesti indukcijom.

Baza indukcije:

$n=0$

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}1\cdot f'(t)dt.$

Da Tejlorova formula važi za $n=1$ možemo dokazati putem parcijalne integracije:

$f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)^{1}\,f''(t)\,dt$

Korak indukcije: Uzmimo onda da za neko $n-1$ važi:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n)}(t)}{(n-1)!}}(x-t)^{n-1}\,dt$

Dokaz:

$n-1\rightarrow n$

$R_{n-1}^{a}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n)}(t)}{(n-1)!}}(x-t)^{n-1}\,dt={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)dt$

Koristimo ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {(x-t)^{n}}{n}}\right)=-(x-t)^{n-1}$:

$R_{n-1}^{a}(x)=-{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{\frac {d}{dt}}({\frac {(x-t)^{n}}{n}}){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)dt$

$R_{n-1}^{a}(x)=-\int _{a}^{x}\underbrace {{\frac {d}{dt}}({\frac {(x-t)^{n}}{n!}})} _{u'}\underbrace {{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)} _{v}dt$

Parcijalnom integracijom:

$R_{n-1}^{a}(x)=-\left[\underbrace {\frac {(x-t)^{n}}{n!}} _{u}\underbrace {{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)} _{v}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}\underbrace {\frac {(x-t)^{n}}{n!}} _{u}\underbrace {{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(t)} _{v'}dt$

$R_{n-1}^{a}(x)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(t)dt$

$R_{n-1}^{a}(x)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}dt$

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$,

što smo i hteli da dokažemo.

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku

Tejlorova formula u Lagranžovom obliku se dobija kada se na izraz Tejlorove formule

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

primeni Lagranžova teorema za srednju vrednost:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt=f^{(n+1)}(\xi )\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}dt=f^{(n+1)}(\xi ){\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}$, gde je $a<\xi <x$

Primer

Izračunavanje nijedne trigonometrijske funkcije u opštem slučaju nije trivijalno. Međutim, za rezultate sa određenom tačnošću, Tejlorova formula daje veoma dobre rezultate koji se mogu i jako brzo izračunati.

Tako, na primer, možemo izračunati približnu vrednost sinusa u opsegu -0.5 do 0.5. Jedna od najefikasnijih mogućnosti za izračunavanje je primena Tejlorovog polinoma na tačku 0.

Za sinus znamo da važi:

$f(x)=\sin(x),f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x)$

Tejlorov polinom prvog stepena stoga glasi:

$n=1,a=0$

$\sin(x)\approx T_{1}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\cdot (x-a)=\sin(0)+\cos(0)\cdot x=x$

U posmatranom intervalu, rezultati aproksimacije su prilično dobri, jer je greška:

$R_{1}(x)=\int _{0}^{x}(x-t)f''(t)dt=\sin(x)-x$ najveća kod tačaka -0.5 i 0.5 i ona iznosi:

$R_{1}(0.5)=-0.020574$, što je sa praktične tačke gledišta sasvim prihvatljivo.

Tako možemo i praktično da opazimo da je naša približna vrednost sve gora aproksimacija što se dalje udaljavamo od tačke $a$.

Za bolje aproksimacije i manje greške, potrebno je samo funkciju razviti do viših stepena i tako se sve više i više približavati traženoj funkciji.

Prikazane su aproksimacije funkcije $\sin(x)$ za razvijanje do sve viših i viših redova (do prvog reda - crvenom bojom, do trećeg reda - zelenom bojom, ...):

Povezano

• Maklorenova formula
• Tejlorov red
• Tejlorov polinom

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.