Red (matematika)

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

U matematici, red je često predstavljen kao suma članova niza. To jest, red je predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih,[1] npr. ova aritmetički niz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.

Redovi mogu biti konačni ili beskonačni.[2][3] Konačni redovi mogu se rješavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.

Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

,

te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:

Apsolutna konvergencija[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Apsolutna konvergencija

Za red

se kaže da konvergira apsolutno ako red apsolutne vrijednosti

konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako su an realni i ako je S bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom S.

Neke vrste beskonačnih redova[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Geometrijski red je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:
Općenito, geomtrijski red
konvergira ako i samo ako |z| < 1.
Harmonijski red je divergentan.
  • Alternativni red je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:
  • Red
konvergira ako je r > 1, a divergira ako za r ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.
konvergira ako niz bn konvergira u limes L kada n teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tada b1L.

Testovi konvergencije[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Testovi konvergencije
  • Test poređenja 1: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da je |an | ≤ C |bn | za neki broj C  i za dovoljno veliki broj n , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. Ako red ∑|bn | divergira, a |an | ≥ |bn | za svaki dovoljno velik n , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu an  promijeni znak).
  • Test poređenja 2: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da |an+1 /an | ≤ |bn+1 /bn | za dovoljno veliki n , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. ako red ∑|bn | divergira, a |an+1 /an | ≥ |bn+1 /bn | za sve dovoljno velike n , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu an  promijeni znak).
  • D'Alambertov test: Ako se odnos |an+1/an| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ an konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
  • Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta C < 1 takva da je |an|1/nC za svedovoljno velike n, tada red ∑ an konvergira apsolutno.
  • Cauchyjev integralni test: Ako je f(x) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu [1, ∞) sa f(n) = an za sve n, tada red ∑ an konvergira ako i samo ako postoji integral1 f(x) dx.
  • Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)n an (sa an ≥ 0) naziva se alternativni red. Takvi redovi konvergiraju ako je niz an monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
  • Potreban uslov konvergencije reda: Ako je limn→∞ a n ≠ 0, tada red divergira.
  • Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.

Potencijalni red[uredi - уреди | uredi izvor]

Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.Na primjer, red

konvergira u za sve x. Također pogledajte članak radijus konvergencije.

Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

Dirichletov red[uredi - уреди | uredi izvor]

Glavni članak: Dirichletov red

Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

gdje je s kompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od s veći od broja koji se naziva apscisa konvergencije.

Vidite još[uredi - уреди | uredi izvor]

Reference[uredi - уреди | uredi izvor]

  1. p 264 Jan Gullberg: Mathematics: from the birth of numbers, W.W. Norton, 1997, ISBN 0-393-04002-X
  2. O'Connor, J.J. and Robertson, E.F. (February 1996). "A history of calculus". University of St Andrews. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html. pristupljeno 2007-08-07. 
  3. Archimedes and Pi-Revisited.

Literatura[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
  • Thomas John I'Anson Bromwich An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
  • Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 36 (3): 192–197. doi:10.1073/pnas.36.3.192.  MR0033975

Vanjske veze[uredi - уреди | uredi izvor]