Paulijeva jednadžba

Izvor: Wikipedia
Kvantna fizika
Schrödinger cat.png
Kvantna mehanika

Uvod u...
Matematička formulacija...

Fundamentalni koncepti

Dekoherencija · Interferencija
Neodređenost · Isključenje
Teorija transformacije
Ehrenfestov teorem · Mjerenje

Eksperimenti

Eksperiment s dvostrukom pukotinom
Davisson-Germer eksperiment
Stern–Gerlach eksperiment
EPR paradoks · Popperov eksperiment Schrödingerova mačka

Jednadžbe

Schrödingerova jednadžba
Paulijeva jednadžba
Klein-Gordonova jednadžba
Diracova jednadžba

Napredne teorije

Kvantna teorija polja
Kvantna elektrodinamika
Kvantna kromodinamika
Kvantna gravitacija
Feynmanov dijagram

Interpretacije

Kopenhagen · Kvantna logika
Skrivene varijable · Transakcijska
Mnogo-svjetova · Ansambl
Konzistentne povijesti · Relacijska
Svijest uzrokuje kolaps
Orkestrirana objektivna redukcija

Znanstvenici

Planck · Schrödinger
Heisenberg · Bohr · Pauli
Dirac · Bohm · Born
de Broglie · von Neumann
Einstein · Feynman
Everett · Drugi

Ova kutijica: pogledaj  razgovor  uredi

Paulijeva jednadžba ili, kako je još zovu, Schrödinger-Paulijeva jednadžba je oblik Schrödingerove jednadžbe za čestice s polucijelobrojnim spinom koja u sebi sadrži utjecaj interakcije spina čestice s elektromagnetskim poljem. Ona je nerelativistički granični slučaj Diracove jednadžbe i može se koristiti tamo gdje su čestice dovoljno spore da se relativističku učinak može zanemariti.

Jednadžbu je formulirao austrijski Nobelobac Wolfgang Pauli.

Detalji[uredi - уреди]

Paulijeva jednadžba glasi:

\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\vec{p} - q \vec{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle

Gdje je:

Paulijeva se jednadžba eksplicitnije može zapisati i ovako:

\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 (\sigma_n ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - q A_n)) \right) ^2 + q \phi \right] 
\begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} 
= i \hbar \begin{pmatrix} \frac{ \partial \psi_0 }{\partial t} \\  \frac{ \partial \psi_1 }{\partial t}     \end{pmatrix}

Treba uzeti u obzir da je Hamiltonov operator (izraz unutar uglatih zagrada) zapravo 2 x 2 matrični operator, a sve to zbog Paulijevih σ matrica.

Veze sa Schrödingerovom i Diracovom jednadžbom[uredi - уреди]

Iako je Paulijeva jednadžba nerelativistička, ona predviđa spin. Kao takva, može se smatrati srednjim stadijem u "razvoju kvantnofizikalnih jednadžbi":

  • Jednostavna Schrödingerova jednadžba (za kompleksnu skalarnu valnu funkciju), koja je nerelativistička i ne predviđa spin.
  • Diracova jednadžba (za kompleksni četverostavačni spinor), koja je u potpunosti relativistička i predviđa spin.

No, zbog svojstava Paulijevih matrica, ako je magnetski vektorski potencijal  \bold{A} jednak 0, onda Paulijeva jednadžba postaje jednostavna Schrödingerova za česticu koja ima samo električni potencijal φ, no razlika je ta što kod Paulija ona radi na dvostavačnom spinoru. Iz toga se izvlači zaključak da spin čestice utječe na njezino gibanje jedino ako je u blizini magnetskog polja.

Posebni slučajevi[uredi - уреди]

Oba stavka spinora zadovoljavaju Schrödingerovu jednadžbu. To znači da je sustav degenerirao na dodatni stupanj slobode.

S vanjskim elektromagnetskim poljem, potpuna Paulijeva jednadžba glasi:


\underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec p}-q \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_\mathrm{Schr\ddot{o}dingerova~jednadzba} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_\text{Stern Gerlachov izraz}.

Gdje je/su:

 \phi skalar električnog potencijala.
 A vektor elektromagnetskog potencijala
 \vec \varphi_\pm, u Diracovom zapisu |\psi\rangle :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rangle \\
|\varphi_-\rangle 
\end{pmatrix} Paulijevi stavci spinora
 \vec{\hat \sigma} Paulijeve matrice
 \vec B vanjsko magnetsko polje
 \hat 1 dvodimenzionalna matrica identiteta

Schrödingerova derivacija Paulijeve jednadžbe[uredi - уреди]

Započevši sa Diracovom jednadžbom za slabe elektromagnetske interakcije:


i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)

sa \vec \pi = \vec p - q \vec A

Koristeći sljedeće aproksimacije:

  • Pojednostavljenje jednadžbe pomoću sljedećeg izraza:
\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array}  \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)
  • Eliminirajući ostatak preko izraza za sporu vremensku ovisnost:
\partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i
  • Slabo sparivanje električnog potencijala:
q \phi \ll mc^2