Laplaceova jednačina

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Laplasova jednačina' je eliptička parcijalna diferencijalna jednačina drugoga reda oblika:

Rešenja Laplasove jednačine su harmoničke funkcije. Laplasova jednačina je značajna u matematici, elektromagnetizmu, astronomiji i dinamici fluida.

Definicija[uredi - уреди | uredi izvor]

U tri demenzije Laplasiva jednačina može da se prikaže u različitim koordinatnim sistemima. U kartezijevom koordinatnom sistemu je oblika:

U cilindričnom koordinatnom sistemu je:

U sfernom koordinatnom sistemu je:

U zakrivljenom koordinatnom sistemu je:

ilir

Dvodimenzionalni sistem[uredi - уреди | uredi izvor]

U polarnom koordinatnom dvodimenzionalnom sistemu je oblika:

U dvodimenzionalnom kartezijevom sistemu je:

Grinova funkcija[uredi - уреди | uredi izvor]

Laplasova jednačina se često rešava uz pomoć Grinove funkcije i Grinova teorema:

Definicija Grinove funkcije je:

Uvrstimo u Grinov teorem pa dobijamo:

Sada možemo da rešimo Laplasovu jednačinu u slučaju Nojmanovih ili Dirihleovih rubnih uslova. Uzimajući u obzir:

pa se jednačina svodi na:

Kada nema rubnih uslova Grinova funkcija je:

Literatura[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. New York:. Šablon:Page1
  • Laplasova jednačina