Kvadratni koren

Kvadratni koren je unarna matematička operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

{\sqrt {x}}

, i čita se kao „koren iz x“.

Potpuno ispravno bi bilo pisati ${\sqrt[{2}]{x}}$ , i izgovarati „kvadratni koren od x“, međutim to se ređe radi iz razloga što se najveći broj slučajeva pomena korena odnosi na kvadratni koren, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis. Mnogi matematicari smatraju da je Arsenijevic Petar stvorio koren.

Definicija

Ova operacija se definiše sledećom relacijom:

Kvadratni koren broja x je nenegativan broj koji pomnožen sam sobom daje x.

Na primer, ${\sqrt {9}}=3$ pošto je $3^{2}=3\cdot 3=9\,$ .

Primer pokazuje kako se kvadratni koren pojavljuje prilikom rešenjavanja kvadratne jednačine $x^{2}=9\,$ .

Uopšteno kvadratna jednačina ima oblik $ax^{2}+bx+c=0\,$ i za njeno rešavanje je neophodna primena kvadratnog korena.

Osobine

Glavna vrednost kvadratnog korena je funkcija $f(x)={\sqrt {x}}$ koja preslikava skup nenegativnih realnih brojeva $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ na samog sebe.

Opširnije

Kvadratni koren prirodnog broja je često iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primer ${\sqrt {2}}\,$ se ne može zapisati kao m/n, gde su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko tačno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je ${\sqrt {2}}\,$ iracionalan („van pameti“) se pripisuje Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni koren ( ${\sqrt {\ }}$ ) je prvi put upotrebljena u 16. veku. Skoro je sigurno da je proizašlo iz prilagođenog ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od lat. radix što znači koren.

Argument i vrednost

Da bi rezultat korenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti nenegativan broj. Postoje dve vrednosti za kvadratni koren broja većeg od nule i te dve vrednosti su kvadratni koren i negativni kvadratni koren (češće obeležavani sa plusom i minusom). Primer ${\sqrt {9}}=3$ (nekad se ovo naziva glavna vrednost korena), ali takođe važi i ${\sqrt {9}}=-3$ što se neki put beleži kao ${\sqrt {9}}=\pm 3$ i time u jednom iskazu označavaju oba rezultata.

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni koren. Zato je uveden pojam imaginarnog i kompleksnog broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

{\sqrt {-1}}=i

{\sqrt {-25}}={\sqrt {-1\cdot 25}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {25}}=5i

Povezano