Fibonačijev niz

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Ako znamo Fibonačijeve brojeve i onda možemo naći broj po formuli

Također imamo

Uopšteno

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.[3][4]

Odnos prema zlatnom odnosu[uredi - уреди | uredi izvor]

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj koji je korjen jednačine i

Iz Binetove formule

Gdje je

Dalje imamo

i

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

Zadovoljena je i relaciija

Neka su i izabrani tako da je i onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi i zafovoljavaju relaciju

Odnosno imamo

Uzimajući i kao početne varijable imamo

Odnosno

.

Posmatrajmo sada

Za , broj najbliži cio broj je , koji se može dobiti iz funkcije

ili

Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

gdje se može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

Osobine[uredi - уреди | uredi izvor]

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

je djeljiv sa ako i samo ako je djeljivo sa ( bez )

  • je djeljivo sa samo ako je
  • je djeljivo sa samo ako je
  • je djeljivo sa samo ako je

je prost ako je prost broj sa isključenjem

Obratno ne važi tj ako je prost broj ne mora biti prost

Njegov polinom ima korjene i

1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonačijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12 , , ,

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je

Fibonnačijev niz brojeva[uredi - уреди | uredi izvor]

Prvih 21 Fibonačijevih brojeva za [5]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

Niz brojeva za [6]

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21


Identiteti[uredi - уреди | uredi izvor]

  • (см. рис.)

Opšte formule

, kao i ,

gdje matrice imaju oblik , i  je imaginarna jedinica.

  • Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma

Za bilo koji

Posljedica

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

Fibonnačijev niz u prirodi[uredi - уреди | uredi izvor]

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Vidi još[uredi - уреди | uredi izvor]

Reference[uredi - уреди | uredi izvor]

  1. Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  3. Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  4. Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  5. The Fibonacci series: 03. april 2011.
  6. Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane

Literatura[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Ball, Keith M (2003). "8: Fibonacci's Rabbits Revisited". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0. .
  • Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer .
  • Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd izd.), New Jersey: World Scientific .
  • Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws. New York: Springer. ISBN 978-3-540-66957-9. .
  • Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres, 1, Gauthier-Villars .
  • Pisano, Leonardo (2002) (hardback). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Sigler, Laurence E, trans. Springer. ISBN 978-0-387-95419-6. , 978-0-387-40737-1 (paperback).
  • Arakelяn, Grant (2014). Matematika i istoriя zolotogo sečeniя. Logos, 404 s. ISBN 978-5-98704-663-0.

Vanjske veze[uredi - уреди | uredi izvor]