Stožac

Izvor: Wikipedia
Prava (levo) i kosa kružna kupa (desno)

Kupa (stožac, ili konus) je geometrijsko telo. Može se definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje čini sve duži između elipse, koja se nalazi u jednoj ravni, i tačke, koja se nalazi izvan te ravni. Ova elipsa se još naziva baza kupe, a tačka njeno teme.

Prava koja prolazi kroz teme i centar baze kupe se naziva njenom osom. Ukoliko je ova prava i normalna na bazu kupe, kupa se naziva pravom. U suprotnom se radi o kosoj kupi.

Rastojanje između temena kupe, i njegove projekcije na ravan baze kupe se naziva visinom kupe.

Svaka duž koja spaja teme i neku od ivičnih tačaka baze se naziva izvodnicom kupe. Kod prave kupe sve izvodnice imaju jednaku dužinu dok kod kose kupe postoje najviše dve izvodnice sa istom dužinom.

Površina kupe[uredi - уреди]

Površina kupe se uvek računa kao zbir površina njenog omotača i njene baze. Omotač kupe je skup svih duži koje spajaju teme kupe sa ivicom osnovice kupe. U slučaju da je baza krug, njegova ivica bi bila kružnica.

Površina prave kružne Kupe[uredi - уреди]

Razmotavanjem omotača prave kupe se može ustanoviti da se radi o odsečku kruga, koji za poluprečnik ima dužinu s izvodnice kupe. Pokriveni ugao se prema punom krugu (tj. ) odnosi kao obim baze kupe prema obimu kruga sa poluprečnikom s, što bi dalo sledeći izraz:

S_o = s^2 \pi \cdot \frac{2\pi r}{2\pi s} = s^2 \pi \cdot \frac{r}{s} = rs\pi

Površina baze je površina kruga poluprečnika r, što iznosi Sb = r²π. Zbir ove dve vrednosti daje površinu kupe:

S = S_o + S_b = rs\pi + r^2\pi = r\pi(s+r)

Zapremina kupe[uredi - уреди]

Zapremina kupe se uvek može predstaviti kao trećina proizvoda površine njene baze sa rastojanjem temena od ravni u kome se nalazi baza. Ovo rastojanje se još zove i visina kupe.

V = \frac{1}{3}P_b h

Primer može biti kružna kupa kod koje je Pb = r²π. Iz prethodnog izraza sledi da je zapremina ove kupe:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} r^2\pi h

Zapremina kose i prave eliptične kupe se razlikuje samo u bazi:

V = \frac{1}{3} P_b h = \frac{1}{3} ab\pi h