Rydbergova konstanta

Ridbergova konstanta, R, je fizička konstanta koja se sreće u atomskoj spektroskopiji pri opisivanju frekvencija spektralnih linija jednoelektronskih sistema. Kao i formula, Ridbergova formula, u kojoj se javlja, ime je dobila po Johanesu Ridbergu švedskom fizičaru s kraja devetnaestog i početka dvadesetog veka. KOnstanta je otkrivena u analizi spektralnih serija vodonikovog atoma čime su se prvi bavili Angstrem i Balmer. Svaki hemijski element ima sopstvenu Ridbergovu konstantu koja može da se izračuna iz „beskonačne“ Ridbergove konstante.

Ridbergova konstanta je jedna od najtačnije određenih fizičkih konstanti sa neizvesnošću manjom od 7 delova na trilion (7:10¹²). Toliko tačno eksperimentalno merenje omogućuje utvrđivanje odnosa među drugim fizičkim konstantama kojima se definisana Ridbergova konstanta.

$\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right) \$.

Danas usvojena vrednost za „beskonačnu“ Ridbergovu konstantu (prema CODATA) iznosi:

$R_\infty = \frac{m_e e^4}{(4 \pi \epsilon_0)^2 \hbar^3 4 \pi c} = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} = 1,0973731568525(73) \cdot 10^7 \,\mathrm{m}^{-1}$

gde je

$\hbar \$ redukovana Plankova konstanta,

$m_e \$ masa mirovanja elektrona,

$e \$ elementarno naelektrisanje,

$c \$ brzina svetlosti u vakuumu, i

$\epsilon_0 \$ permitivnost vakuuma.

U atomskoj fizici konstanta se često koristi u obliku energije:

$h c R_\infty = 13,6056923(12) \,\mathrm{eV} \equiv 1 \,\mathrm{Ry} \$

"Beskonačna“ konstanta javlja se u formuli:

$R_M = \frac{R_\infty}{1+m_e/M} \$

gde je

$R_M \$ Ridbergova konstanta jednoelektronskog jona/atoma

$M \$ masa atomskog jezgra atoma/jona.

Alternativni izrazi

Ridbergova konstanta može da se prikaže i na sledeći način

$R_\infty = \frac{\alpha^2 m_e c}{4 \pi \hbar} = \frac{\alpha^2}{2 \lambda_e} \$

i

$h c R_\infty = \frac{h c \alpha^2}{2 \lambda_e} = \frac{h f_C \alpha^2}{2} = \frac{\hbar \omega_C}{2} \alpha^2 \$

gde je

$h \$ Plankova konstanta,

$c \$ brzina svetlosti u vakuumu,

$\alpha \$ konstanta fine strukture,

$\lambda_e \$ Komptonova talasna dužina elektrona,

$f_C \$ Komptonova frekvencija,

$\hbar \$ redukovana Plankova konstanta, i

$\omega_C \$ Komptonova ugaona frekvencija elektrona.

Ridbergova konstanta vodonika

Unošenjem vrednosti za odnos mase elektrona i protona $m_e / m_p = 5,446 170 2173(25) \cdot 10^{-4} \$, nalazimo da je Ridnergova konstanta vodonika, $R_H \$.

$R_H = 10 967 758,341 \pm 0,001\,\mathrm{m}^{-1} \$

Unošenjem ove vrednosti u Ridbergovu formulu, možemo da izračunamo položaj linija emisionog spektra vodonika.

Izvođenje izraza za Ridbergovu konstantu

Ridbergova konstanta može da se izvede na osnovu Borovih postulata

• Borov uslov,

  Moment ipulsa elektrona može da poprimi samo izvesne diskretne vrednosti:

  $L = m_e v r = n \frac{h}{2 \pi} = n \hbar$

  gde je n = 1,2,3,… (ceo broj) glavni kvantni broj, h Plankova konstanta, i $\hbar=h/(2\pi)$.

  $r \$ je radijus elektronske orbite

• Sila koja održava elektron u kružnom kretanju (centripetalna) je

  $F_{centripetal}= \frac{m_ev^2}{r} \$

  gde je

  $m_e \$ masa mirovanja elektrona, a $v \$ brzina elektrona

• Elektrostatička sila privlačenja između elektrona i protona je

  $F_{electric}= \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 } \$

  gde je

  $e \$ elementarno naelektrisanje,

  $\epsilon_0 \$ permitivnost vakuuma.

• Prema Borovom modelu totalna energija elektrona u orbiti radijusa $r$ je

  $E_\mathrm{total} = - \frac {e^2}{ 8 \pi \epsilon_0 r} \$

Prvo iz Borovog postulata nalazimo da su dopuštene brzine elektrona $v$:

$v = \frac {n h}{2 \pi r m_e} \$

Onda nalazimo da za stabilnu kružnu orbitu centripetalna sila mora biti jednaka privlačnoj elektrostatičkoj sili, $F_{centripetal} = F_{electric}$ pa nalazimo

$\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2 } \$

Zamenom u ovom izrazu dobijene elektronske brzine $v \$ i rešavanjem po $r \$ nalazimo dopuštene vrednosti za radijus elektronske orbite

$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0 }{ \pi m_e e^2} \$

Zamenom ovako dobijenog radijusa, $r$, u izrazu za elektrostatičku potencijalnu energiju elektrona u istoj orbiti nalazimo

$E_\mathrm{total} = \frac{- m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}. \frac{1}{n^2} \$

Dakle, promena energije pri prelazu elektrona iz jedne orbite (početne, initial) u drugu (konačne, final) je

$\Delta E = \frac{ m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \left(\frac{1}{n_\mathrm{i}^2} - \frac{1}{n_\mathrm{f}^2} \right) \$

Prelaskom iz energije u talasni broj $\left(\frac{1}{ \lambda} = \frac {E}{hc} \rightarrow \Delta{E} = hc \Delta \left(\frac{1}{\lambda}\right)\right) \$ nalazimo

$\Delta \left(\frac{1}{ \lambda}\right) = \frac{ m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \left(\frac{1}{n_\mathrm{initial}^2} - \frac{1}{n_\mathrm{final}^2} \right) \$

gde je

$h \$ Plankova konstanta,

$m_e \$ masa mirovanja elektrona,

$e \$ elementarno naelektrisanje,

$c \$ brzina svetlosti u vakuumu, i

$\epsilon_0 \$ permitivnost vakuuma.

a

$n_\mathrm{i} \$ i $n_\mathrm{f} \$ su kvantni brojevi orbita među kojima dolazi do elektronskog prelaza.

Dakle, nalazimo da je Ridbergova konstanta atoma vodonika

$R_H = \frac{ m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$

Videti

• Ridbergova formula

Literatura

• Mathworld

S. Macura, J. Radić-Perić, ATOMISTIKA, Službeni list, Beograd, 2004., str. 92.