Rydbergova konstanta

Ridbergova konstanta, R, je fizička konstanta koja se sreće u atomskoj spektroskopiji pri opisivanju frekvencija spektralnih linija jednoelektronskih sistema. Kao i formula, Ridbergova formula, u kojoj se javlja, ime je dobila po Johanesu Ridbergu švedskom fizičaru s kraja devetnaestog i početka dvadesetog veka. KOnstanta je otkrivena u analizi spektralnih serija vodonikovog atoma čime su se prvi bavili Angstrem i Balmer. Svaki hemijski element ima sopstvenu Ridbergovu konstantu koja može da se izračuna iz „beskonačne“ Ridbergove konstante.

Ridbergova konstanta je jedna od najtačnije određenih fizičkih konstanti sa neizvesnošću manjom od 7 delova na trilion (7:10¹²). Toliko tačno eksperimentalno merenje omogućuje utvrđivanje odnosa među drugim fizičkim konstantama kojima se definisana Ridbergova konstanta.

${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\$${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\$.

Danas usvojena vrednost za „beskonačnu“ Ridbergovu konstantu (prema CODATA) iznosi:

$R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{3}4\pi c}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1,0973731568525(73)\cdot 10^{7}\,\mathrm {m} ^{-1}$$R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{3}4\pi c}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1,0973731568525(73)\cdot 10^{7}\,\mathrm {m} ^{-1}$

gde je

$\hbar \$$\hbar \$ redukovana Plankova konstanta,

$m_{e}\$$m_{e}\$ masa mirovanja elektrona,

$e\$$e\$ elementarno naelektrisanje,

$c\$$c\$ brzina svetlosti u vakuumu, i

$\epsilon _{0}\$$\epsilon _{0}\$ permitivnost vakuuma.

U atomskoj fizici konstanta se često koristi u obliku energije:

$hcR_{\infty }=13,6056923(12)\,\mathrm {eV} \equiv 1\,\mathrm {Ry} \$$hcR_{\infty }=13,6056923(12)\,\mathrm {eV} \equiv 1\,\mathrm {Ry} \$

"Beskonačna“ konstanta javlja se u formuli:

$R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}\$$R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}\$

gde je

$R_{M}\$$R_{M}\$ Ridbergova konstanta jednoelektronskog jona/atoma

$M\$$M\$ masa atomskog jezgra atoma/jona.

Alternativni izrazi

Ridbergova konstanta može da se prikaže i na sledeći način

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\$$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\$

i

$hcR_{\infty }={\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}={\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}\$$hcR_{\infty }={\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}={\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}\$

gde je

$h\$$h\$ Plankova konstanta,

$c\$$c\$ brzina svetlosti u vakuumu,

$\alpha \$$\alpha \$ konstanta fine strukture,

$\lambda _{e}\$$\lambda _{e}\$ Komptonova talasna dužina elektrona,

$f_{C}\$$f_{C}\$ Komptonova frekvencija,

$\hbar \$$\hbar \$ redukovana Plankova konstanta, i

$\omega _{C}\$$\omega _{C}\$ Komptonova ugaona frekvencija elektrona.

Ridbergova konstanta vodonika

Unošenjem vrednosti za odnos mase elektrona i protona $m_{e}/m_{p}=5,4461702173(25)\cdot 10^{-4}\$$m_{e}/m_{p}=5,4461702173(25)\cdot 10^{-4}\$, nalazimo da je Ridnergova konstanta vodonika, $R_{H}\$$R_{H}\$.

$R_{H}=10967758,341\pm 0,001\,\mathrm {m} ^{-1}\$$R_{H}=10967758,341\pm 0,001\,\mathrm {m} ^{-1}\$

Unošenjem ove vrednosti u Ridbergovu formulu, možemo da izračunamo položaj linija emisionog spektra vodonika.

Izvođenje izraza za Ridbergovu konstantu

Ridbergova konstanta može da se izvede na osnovu Borovih postulata

• Borov uslov,

  Moment ipulsa elektrona može da poprimi samo izvesne diskretne vrednosti:

  $L=m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar$$L=m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar$

  gde je n = 1,2,3,… (ceo broj) glavni kvantni broj, h Plankova konstanta, i $\hbar =h/(2\pi )$$\hbar =h/(2\pi )$.

  $r\$$r\$ je radijus elektronske orbite

• Sila koja održava elektron u kružnom kretanju (centripetalna) je

  $F_{centripetal}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\$$F_{centripetal}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\$

  gde je

  $m_{e}\$$m_{e}\$ masa mirovanja elektrona, a $v\$$v\$ brzina elektrona

• Elektrostatička sila privlačenja između elektrona i protona je

  $F_{electric}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\$$F_{electric}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\$

  gde je

  $e\$$e\$ elementarno naelektrisanje,

  $\epsilon _{0}\$$\epsilon _{0}\$ permitivnost vakuuma.

• Prema Borovom modelu totalna energija elektrona u orbiti radijusa $r$$r$ je

  $E_{\mathrm {total} }=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}\$$E_{\mathrm {total} }=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}\$

Prvo iz Borovog postulata nalazimo da su dopuštene brzine elektrona $v$$v$:

$v={\frac {nh}{2\pi rm_{e}}}\$$v={\frac {nh}{2\pi rm_{e}}}\$

Onda nalazimo da za stabilnu kružnu orbitu centripetalna sila mora biti jednaka privlačnoj elektrostatičkoj sili, $F_{centripetal}=F_{electric}$$F_{centripetal}=F_{electric}$ pa nalazimo

${\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\$${\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\$

Zamenom u ovom izrazu dobijene elektronske brzine $v\$$v\$ i rešavanjem po $r\$$r\$ nalazimo dopuštene vrednosti za radijus elektronske orbite

$r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi m_{e}e^{2}}}\$$r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi m_{e}e^{2}}}\$

Zamenom ovako dobijenog radijusa, $r$$r$, u izrazu za elektrostatičku potencijalnu energiju elektrona u istoj orbiti nalazimo

$E_{\mathrm {total} }={\frac {-m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}\$$E_{\mathrm {total} }={\frac {-m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}\$

Dakle, promena energije pri prelazu elektrona iz jedne orbite (početne, initial) u drugu (konačne, final) je

$\Delta E={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {i} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {f} }^{2}}}\right)\$$\Delta E={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {i} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {f} }^{2}}}\right)\$

Prelaskom iz energije u talasni broj $\left({\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}=hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\$$\left({\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}=hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\$ nalazimo

$\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {initial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\$$\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {initial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\$

gde je

$h\$$h\$ Plankova konstanta,

$m_{e}\$$m_{e}\$ masa mirovanja elektrona,

$e\$$e\$ elementarno naelektrisanje,

$c\$$c\$ brzina svetlosti u vakuumu, i

$\epsilon _{0}\$$\epsilon _{0}\$ permitivnost vakuuma.

a

$n_{\mathrm {i} }\$$n_{\mathrm {i} }\$ i $n_{\mathrm {f} }\$$n_{\mathrm {f} }\$ su kvantni brojevi orbita među kojima dolazi do elektronskog prelaza.

Dakle, nalazimo da je Ridbergova konstanta atoma vodonika

$R_{H}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$$R_{H}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$

Videti

• Ridbergova formula

Literatura

• Mathworld

S. Macura, J. Radić-Perić, ATOMISTIKA, Službeni list, Beograd, 2004., str. 92.