Normala

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Normala na površinu

Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.)

Pravi ugao[uredi - уреди | uredi izvor]

Ako imamo dvije normalne prave i i uglove koje one čine α1; α2; α3 i α4,. U simetriji sb preslikava ugao α1 na α4, ugao α2; na α3. Iz ovog zaključujemo da je α1 = α4 i α2 = α3.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X0, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Normalne 2 prave[uredi - уреди | uredi izvor]

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su i dvije mimosmjerna prave. Odaberimo jednu tačku na pravoj . Kroz tu tačku prolazi tačno jedan prava paralelna s pravcom (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa . Kažemo da su pravci i su norrmalne ako su prave i normalne.Pišemo .

Normalnost prave i ravni[uredi - уреди | uredi izvor]

Kažemo da je prava normalna na ravan ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Normalnost dvije ravni[uredi - уреди | uredi izvor]

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku i datu ravan postoji jedinstvens prava kroz koja je normalna na ravan

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke na ravan je probodište ravni i prave koja prolazi kroz i normalna je na .

Teorema o tri normale[uredi - уреди | uredi izvor]

Ako je ortogonalna projekcija prave na ravan normalna na neku pravu te ravni, onda je i prava normalna na .

Vrijedi i obratno

Ako je prava normalna na , onda je normalna na .

Normala na krivulju[uredi - уреди | uredi izvor]

Normalom na krivulju u točki nazivamo pravac koji prolazi kroz točku i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca - tangente, to je jednadžba normale

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki , tj.

Ukoliko je , tada je jednadžba normale , tj. normala je očito paralelna s -osi.

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu - normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće uvijek gleda "van" krivulje.

Normala na površinu[uredi - уреди | uredi izvor]

Vektorsko polje normala na površinu

Vektor normale na površinu u točki je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki . U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata , gdje su i realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom

u točki dana je gradijentom:

Iznimke[uredi - уреди | uredi izvor]

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija nema definiranu normalu u ishodištu.

Jedinstvenost[uredi - уреди | uredi izvor]

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer - vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, "gleda prema van".

Vanjske veze[uredi - уреди | uredi izvor]