Logaritamske jednačine

U matematici postoje nekoliko logaritamskih jednačina.

Algebarske jednačine

Korišćenje jednostavnijih operacija

Ljudi koriste logaritme da bi uprostili račun. Na primer, dva broja mogu biti pomnožena samo koristeći tablicu logaritama i sabiranje.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	zbog	$b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	zbog	${\begin{matrix}{\frac {b^{m}}{b^{n}}}\end{matrix}}=b^{m-n}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	zbog	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	zbog	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$

Ukidanje eksponenata

Logaritmi i eksponenti (antilogaritmi) sa istom osnovom se poništavaju.

$b^{\log _{b}(x)}=x$	zbog	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	zbog	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Promena osnove

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Ova jednačina se koristi za izračunavanje logaritama na elektronskim kalkulatorima. Na primer, većina kalkulatora ima dugmad za ln i za log₁₀, ali ne i za log₂. Da bismo našli log₂(3), treba izračunati log₁₀(3) / log₁₀(2) (ili ln(3)/ln(2), što je zapravo ista stvar).

Iz ove formule proizilazi nekoliko stvari:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

Trivijalne jednačine

$\log _{b}(1)=0\!\,$	zbog	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$	zbog	$b^{1}=b\!\,$

Jednačine matematičke analize

Limesi

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

Poslednji limes se često shvata kao "logaritam raste sporije od bilo kog stepena ili korena x".

Izvod logaritamske funkcije

${d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0$

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$

Integral logaritamske funkcije

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

što se za a=e svodi na

$\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$