Keplerov trougao

Keplerovtrougao je pravougli trougao kod koga dužine stranica čine geometrijski niz. Njihova razmjera je u vezi sa zlatnim presjekom.

$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}$

Može se napisati u obliku $1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi$, što je isto kao $1:1.272:1.618$.

Trouglovi s ovakvom razmjerom dobili su ime po njemačkom matematičaru i astronomu Johannes Kepleru (1571-1630), koji je prvi pokazao da taj trougao karakteriše zlatna razmjera.

Keplerov trougao je kombinicuja dva ključna matematička pojma Pitagorine teoreme i zlatnog presjeka što je fasciniralo Keplera. To se vidi iz citata:

Geometrija ima dva blaga: jedno od njih je Pitagorina teorema, a drugo je zlatni presjek. Prvo se može porediti sa vrijednošću zlata, a drugo sa vrijednim draguljem.

Kepler zlatni presjek naziva i božanstvenom proporcijom (kao Luka Pačoli), ali i neprekidnom proporcijom.

Da je trougao sa straniacama $1$, ${\sqrt {\varphi }}$ i $\varphi$, pravougli proizlazi iz definicije kvadratnog polinoma za zlatni presjek

$\varphi ^{2}=\varphi +1$

u obliku Pitagorine teoreme

$(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.$

Konstrukcija Keplerovog trougla

Keplerov trougao može se konstruisati konstrukcijon zlatnog pravougaonika.

1. Konstruiraj jedinični kvadrat (crveno).
2. Povuci liniju iz centra jedne stranice do suprotnog ugla.
3. Upotrijebi tu liniju kao radijus za iscrtavanje luka koji će odrediti dužu stranicu pravougaonika.
4. Završiti crtež pravougaonika.
5. Povući luk (poluprečnik kružnice duža strana pravougaonika) do presjeka sa suprotnom stranom pravougaonika. Dobili smo hipotenuzu.

Zanimljivo

• 

Neki izvori tvrde da se trougao s dimenzijama Keplerovog trougla može prepoznati u Velikoj piramidi u Gizi.

Izvori

• The Shape of the Great Pyramid / Roger Herz-Fischler (2000)
• A Brief History of Mathematics
• Squaring the Circle in the Great Pyramid Arhivirano 2011-09-02 na Wayback Machine-u
• The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence