Hiperbolička geometrija

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije
Dve prave kroz datu tačku P koje su paralelne pravoj l.
Trougao i dve paralelne prave na sedlastoj ravni (hiperbolički paraboloid)

U matematici, hiperbolička geometrija (poznata i kao geometrija Lobačevskog ili geometrija Boljaj-Lobačevskog je neeuklidska geometrija, u kojoj je promenjen peti postulat euklidske geometrije.

Postulat paralelnosti u euklidskoj geometriji je ekvivalentan tvrđenju da, u dvodimenzionom prostoru, za proizvoljnu pravu l i tačku P koja joj ne pripada, postoji tačno jedna prava koja sadrži P i ne seče pravu l, odnosno koja je paralelna sa l. U hiperboličkoj geometriji postoje bar dve prave kroz P koje nemaju zajedničkih tačaka sa l, što znači da ne važi postulat paralelnosti. U okviru euklidske geometrije konstruisani su modeli koji poštuju aksiome hiperboličke geometrije, čime je dokazano da je peti postulat nezavisan od ostalih Euklidovih postulata.

Istorija[uredi - уреди | uredi izvor]

U trećoj deceniji devetnaestog veka Nikolaj Lobačevski i Janoš Boljaj, nezavisno jedan od drugoga, predlažu da se teorija paralelnih utemelji na aksiomi koja negira peti Euklidov postulat. Nemajući pred sobom očiglednu sliku koja bi poduprla njihov pogled na osnove geometrije, oni su uspeli da izgrade teoriju koja je, kako je kasnije pokazano, isto onoliko logički valjana koliko i euklidska geometrija. Oni su, kako mladi Janoš Boljaj ističe u jednom pismu svom ocu, „ni iz čega“ stvorili „jedan sasvim novi svet“. Prvi put je zasnovana jedna teorija u kojoj se ne može pozvati na očiglednost, zasnovana je geometrija u kojoj postoje tačka B i prava a koja je ne sadrži, takve da u njima određenoj ravni postoji više od jedne prave koja sadrži B, a sa pravom a nema zajedničkih tačaka.

Iz geometrijskog sveta u kome se u potpunosti moglo osloniti na intuiciju zasnovanu na predstavama koje stvaraju čula, zakoračilo se u svet koji postoji izvan dohvata našeg iskustva. Nije stoga iznenađujuće što njihove zamisli nisu za njihova života doživele priznanje koje im pripada. Samo je Gaus razumeo dubinu i dalekosežnost njihovih ideja, budući da su se, prema njegovim rečima, one podudarale sa njegovim zamislima od kojih je neke snivao više od trideset godina. Zanimljivo, Gaus je znao za zamisli obojice zasnivača hiperboličke geometrije, no nije upoznao ni jednog od njih sa rezultatima drugog. Do Boljaja je dospela jedna rasprava na nemačkom jeziku Nikolaja Lobačevskog, dok Lobačevski nikada nije saznao za rad Janoša Boljaja.

Uvođenje geometrije Lobačevskog[uredi - уреди | uredi izvor]

Geometrija Lobačevskog je geometrija zasnovana na Hilbertovim aksiomama veze, rasporeda, podudarnosti i neprekidnosti i aksiomi Lobačevskog.

Aksioma Lobačevskog: Postoje tačka B i prava a koja ne sadrži tačku B takve da u njima određenoj ravni postoji više od jedne prave koja sadrži B, a sa a nema zajedničkih tačaka.

Tačka B i prava a imaju svojstvo Lobačevskog.

Geomerija Lobačevskog se naziva i hiperbolička geometrija ili geometrija Gaus-Boljaj-Lobačevskog ili geometrija Boljaj-Lobačevskog. Prostor u kome su zadovoljene aksiome hiperboličke geometrije zvaćemo hiperboličkim ili prostorom Lobačevskog, a svaku njegovu ravan hiperboličkom ravi ili ravni Lobačevskog.

Ako bi u hiperboličkom prostoru postojale tačka i prava koje zadovoljavaju Plejferova aksioma, onda bi svaka tačka i prava koja je ne sadrži zadovoljavale istu aksiomu, što protivreči aksiomi Lobačevskog. Dakle, važi

Teorema
Za svaku tačku B hiperboličkog prostora i pravu a koja je ne sadrži, u njima određenoj ravni postoje bar dve prave koje sadrže tačku B, a sa a nemaju zajedničkih tačaka.

Iz Ležandrovih teorema se može dokazati i sledeća

Teorema 
Sledeći iskazi su ekvivalenti aksiomi Lobačevskog:
  • Ugao paralelnosti je oštar.
  • Zbir unutrašnjih uglova trougla je manji od Pi.
  • Zbir unutrašnjih uglova ravnog prostornog četvorougla je manji od 2*Pi.
  • Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četvorougla su oštri.
  • Jedan ugao Lambertovog četvorougla je oštar.
  • Prostoji prava u ravni oštog ugla koja je upravna na jednom kraku tog ugla, a ne seče drugi krak.

U apsolutnoj geometriji važi pet stavova o podudarnosti trouglova. U hiperboličkoj geometriji važi, pored tih pet, još jedan, takozvani šesti stav prema podudarnosti koji karaktriše hiperbolički prostor. On glasi: Dva trougla su podudarna ako i samo ako su im odgovarajući uglovi međusobno podudarni podudarni. Posledica ovog šestog stava je: u hiperboličkoj geometriji svaka sličnost je podudarnost.

Paralelnost i hiperparalelnost[uredi - уреди | uredi izvor]

U ravni Lobačevskog postoji beskonačno mnogo pravih koje sadrže tačku B i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka. Sem tih pravih postoji i beskonačno mnogo pravih koje sadrže tačku B i seku pravu a. Skup svih pravih koje prolaze kroz B možemo podeliti na dva skupa i to skup koji sadrži sve prave koje seku pravu a i skup svih pravih koje ne seku pravu a. Među svim tim pravama postoje dve prave a1 i a2 koje razdvajaju ova dva skupa. One pripadaju skupu pravih koje ne seku pravu a.

Definicija
Neka je u ravni Lobačevskog data tačka B i prava a koja ne sadrži tačku B.
  • Za granične prave a1 i a2 koje razdvajaju skup pravih koje sadrže tačku B i ne seku pravu a i skup pravih koje sadrže tačku B i seku pravu a kažemo da su u tački B paralelne sa pravom a. Jedna je paralelna sa pravom a u jednom smeru, a druga u drugom.
  • Za sve ostale prave koje sadre tačku B i sa pravom a nemaju zajedničkuh tačaka kažemo da su hiperparalelne sa pravom a.

Osobine paralelnih pravih[uredi - уреди | uredi izvor]

U euklidskoj geometriji koplanarne prave su bile paralelne akko su disjunktne, a svaka ekvidistanta je bila prava. U hiperboličkoj geomtriji se osobine paralelnih pravih suštinski razlikuju od onih u euklidskoj geometriji.

  • Ako je B teme neke proizvoljne poluprave paralelne nekoj pravoj a, K proizvoljna tačka te poluprave, a B' i K' podnožja upravnih iz B i K na pravoj a, onda je KK' <BB' .
  • Ako su a i b dve međusobno paralelne prave, a l proizvoljna duž, tada na pravoj b postoji jedinstvena tačka L kojoj je L' podnožje upravne na pravoj a, takva da je LL'l.
  • U hiperboličkoj ravni postoji jedinstvena prava upravna na jednom, a paralelna sa drugim krakom oštrog ugla.
  • Ako se prave a i b seku, upravna projekcija jedne na drugu je tačka ili otvorena duž.
  • Ako su prave a i b međusobno paralelne, upravna projekcija jedne na drugu je otvorena poluprava.

Osobine hiperparalelnih pravih[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Ako poluprava m' sadrži polupravu n' , tada jedna od tih polupravih je hiperparalelna pravoj a akko joj je hiperparalelna i druga.
  • Ako je prava c hiperparalelna pravoj b, onda je i prava b hiperparalelna pravoj c.
  • Hiperparalelnost pravih nije tranzitivna jer dve prave koje sadrže neku tačku B i hiperparalelne su sa pravom a, nisu međusobno paralelne.
  • Postoji jedinstvena prava upravna na dvema međusobno hiperparalelnim pravama.
  • Ako su prave a i b hiperparalelne, upravna projekcija jedne na drugu je otvorena duž.

Modeli hiperboličke ravni[uredi - уреди | uredi izvor]

Postoji nekoliko modela koji se koriste za objašnjavanje Hiperboličke geometrije: Klajnov model, Poenkareov disk model, Poenkareov poluravanski disk model i Lorencov model. Ovi modeli definišu realan hiperbolički prostor koji zadovoljava aksiome hiperboličke geometrije. Uprkos imenima koja su dobili, poluravnske modele je smislio Beltrami, a ne Ponkare ili Klajn.

Osnovne trigonometrijske funkcije[uredi - уреди | uredi izvor]

(a)

(b)

(c)

Odavde dobijamo:

(1)

(2)

(3) .


Iz (1) i (3) dobijamo:

(3')


Koristeći (1), (2) i (3), dobijamo:

(4)


(5)


(6) .


Računanjem, iz definicije dobijamo:


(7) .


Koristeći i (c),

,


tako da je .

Sinusna teorema[uredi - уреди | uredi izvor]

Za svaki -trougao važi:



Hiperbolički odnos[uredi - уреди | uredi izvor]

Definicija:

Ako se -tačke , i nalaze na -pravoj, pravoj, onda je njihov hiperbolički odnos:


, \qquad ako je između i , a inače je:


Osobine:

(1)

(2) ako je između i , onda važi

(3) ako su i sa različitih strana , onda važi

(4) ako su i sa različitih strana , onda važi

Čevina teorema[uredi - уреди | uredi izvor]

Ako -tačka ne pripada nijednoj od -stranica -trougla , tako da se i seku u , i u i i u , tada je:

.

Menelajeva teorema[uredi - уреди | uredi izvor]

Ako -prava ne prolazi ni kroz jedno teme -trougla , tako da seče u , u i u , tada je:

.

Vidi još[uredi - уреди | uredi izvor]

Literatura[uredi - уреди | uredi izvor]

  • Zoran Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija (1997), Total design i Matematički fakultet u Beogradu
  • A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter, (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
  • Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.. 
  • Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob; edited by Asmus L. Schmidt (2003). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.. 
  • {{aut|Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
  • Milnor, John W., (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
  • Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
  • Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR . 1402697 .. http://books.google.com/books?id=ZQjBXxxQsucC. 
  • Samuels, David., (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
  • James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
  • James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.

Vanjske veze[uredi - уреди | uredi izvor]