Prijeđi na sadržaj

Furijeov red

Izvor: Wikipedija

Furijeov red je matematička operacija kojom se periodična funkcija razlaže na svoje „spektralne komponente“ radi jednostavnije analize. Nekoliko prvih članova takvog razvoja se u tehnici često uzimaju kao veoma korisna vrsta aproksimacije.

Diskretna furijeova transformacija pretvara diskretne vrednosti (vektor) u Furijeove koeficijente. Neprekidna furijeova transformacija radi to isto sa funkcijom. Naziv je dobila po francuskom matematičaru Žozefu Furijeu (1768—1830).

Matematička osnova

[uredi | uredi kod]

Uzmimo neku periodičnu funkciju sa periodom T, za koju važi . Zbog periodičnosti možemo da je razdelimo na N sinus i kosinus funkcija:

, , gde je osnovna frekvencija, odnosno harmonik.

Treba imati na umu da je sinus samo kosinus sa faznim pomerajem:

Kada definišemo , a potom i dobijamo isti izraz, ovog puta bez faze:

Zašto se ne uzima tan ili recimo cosh? Zašto baš cos i sin? Razlog je ortogonalnost sin i cos funkcija.

Ideja iza furijeove transformacije je sledeća: ceo prostor koji ima „normalne“ ose transformišemo u prostor u kome su nove ortogonalne ose kosinus i sinus talasi i njihovi viši harmonici. Signal koji transformišemo je samo jedna tačka (mesni vektor), a vrednosti na svakoj osi su amplitude svakog harmonika pojedinačno ().

Sada se uključuje Ojlerov identitet uz pomoć koga ove trigonometrijske funkcije možemo da zamenimo kompleksnim pandanima:

i

Iz toga dalje sledi

Zamenimo realne koeficijente kompleksnim:

, i

dobijamo sumu sa negativnim indeksima:

Takođe, ne treba gubiti iz vida da su funkcije isto ortonormalne baze (svaki vektor koji predstavlja osu ima dužinu 1 i normalan je u odnosu na sve ostale vektore):

U slučaju

A za važi:

Furijeovi redovi

[uredi | uredi kod]

No, želimo sada da neku periodičnu i neprekidnu funkciju približno izračunamo uz pomoć sume trigonometrijskih funkcija (konkretno: kosinusa i sinusa). Videli smo kako možemo da dođemo do ; gornju jednačinu množimo sa i naposletku integrišemo sa obe strane po intervalu [0,T] odnosno u trajanju jedne periode:

Za integrale sa desne strane važi:

kada je n=0:
a kada je n≠0:

Iz sledi , a to dalje možemo da primenimo na gore navedeni integral:

Na kraju se cela računica uprošćava:

U celom računu neka nas ne zbunjuje korišćenje promenljive , njena svrha je puko uprošćavanje jednačine. Sve je stoga samo dosetljivost, odnosno umetnost kako napisati jedno te isto na drugačiji način.

Na kraju, Furijeov red definišemo:

Konvergentnost Furijeovog reda

[uredi | uredi kod]

Furijeov red konvergira ka mnogim funkcijama; tu spadaju pored ostalih sve funkcije koje imaju izvod ili su kvadratno integrabilne (L2 prostor).

Pretpostavimo da je jedna takva funkcija. Kada namestimo , onda ona takođe može da se napiše i ovako:

Povezano

[uredi | uredi kod]

Literatura

[uredi | uredi kod]