Furijeov red je matematička operacija kojom se periodična funkcija razlaže na svoje „spektralne komponente“ radi jednostavnije analize. Nekoliko prvih članova takvog razvoja se u tehnici često uzimaju kao veoma korisna vrsta aproksimacije.
Uzmimo neku periodičnu funkciju sa periodom T, za koju važi .
Zbog periodičnosti možemo da je razdelimo na N sinus i kosinus funkcija:
, , gde je osnovna frekvencija, odnosno harmonik.
Treba imati na umu da je sinus samo kosinus sa faznim pomerajem:
Kada definišemo , a potom i dobijamo isti izraz, ovog puta bez faze:
Zašto se ne uzima tan ili recimo cosh? Zašto baš cos i sin? Razlog je ortogonalnost sin i cos funkcija.
Ideja iza furijeove transformacije je sledeća: ceo prostor koji ima „normalne“ ose transformišemo u prostor u kome su nove ortogonalne ose kosinus i sinus talasi i njihovi viši harmonici. Signal koji transformišemo je samo jedna tačka (mesni vektor), a vrednosti na svakoj osi su amplitude svakog harmonika pojedinačno ().
Sada se uključuje Ojlerov identitet uz pomoć koga ove trigonometrijske funkcije možemo da zamenimo kompleksnim pandanima:
i
Iz toga dalje sledi
Zamenimo realne koeficijente kompleksnim:
, i
dobijamo sumu sa negativnim indeksima:
Takođe, ne treba gubiti iz vida da su funkcije isto ortonormalne baze (svaki vektor koji predstavlja osu ima dužinu 1 i normalan je u odnosu na sve ostale vektore):
No, želimo sada da neku periodičnu i neprekidnu funkciju približno izračunamo uz pomoć sume trigonometrijskih funkcija (konkretno: kosinusa i sinusa). Videli smo kako možemo da dođemo do ; gornju jednačinu množimo sa i naposletku integrišemo sa obe strane po intervalu [0,T] odnosno u trajanju jedne periode:
Za integrale sa desne strane važi:
kada je n=0:
a kada je n≠0:
Iz sledi , a to dalje možemo da primenimo na gore navedeni integral:
Na kraju se cela računica uprošćava:
U celom računu neka nas ne zbunjuje korišćenje promenljive , njena svrha je puko uprošćavanje jednačine. Sve je stoga samo dosetljivost, odnosno umetnost kako napisati jedno te isto na drugačiji način.
William E. Boyce and Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th izd.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN978-0-471-43338-5.
Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (published 1822, translated 1878, re-released 2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN978-0-486-49531-6. 2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis (Second corrected izd.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN978-0-486-63331-2.
Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill, Inc.. ISBN978-0-07-054235-8.
A. Zygmund (2002). Trigonometric series (third izd.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN978-0-521-89053-3. The first edition was published in 1935.