Pravilo derivacije proizvoda

Izvor: Wikipedia
Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema
Limes funkcije
Kontinuitet
Vektorska algebra
Tenzor
Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda
Derivacija količnika
Derivacija složene funkcije
Implicitna diferencijacija
Taylorova teorema
Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala
Neodređeni integral
Određeni integral
Višestruki integral
Nepravi integrali
Parcijalna integracija
Integracija metodom substitucije
Trigonometrijska substitucija

U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Zakon glasi:

(fg)'=gf'+fg' \,

ili direktno po Leibnizu:

{d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.

Otkriće od strane Leibniza[uredi - уреди]

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći [diferencijal (matematička analiza)|diferencijale]]. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

d(uv)\, = (u + du)(v + dv) - uv\,
= u(dv) + v(du) + (du)(dv) \,

Pošto je (du)(dv) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je

d(uv) = v(du) + u(dv) \,

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

\frac{d}{dx} (uv) = v \left( \frac{du}{dx} \right) + u \left( \frac{dv}{dx} \right)

koje se može napisati i kao

(uv)' = v u' + u v'. \,

Dokaz[uredi - уреди]

Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

 h(x) = f(x)g(x),\,

i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

Sada razlika

 f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

 f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)

Zbog toga, izraz (1) jednak je

\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

 \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)

Sada

\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,

jer f(x) ostaje konstanta kao wx;

 \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)

jer je g diferencijabilna u x;

 \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

 \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

 f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

Takođe pogledati[uredi - уреди]