Parcijalna integracija

Izvor: Wikipedia
Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema
Limes funkcije
Kontinuitet
Vektorska algebra
Tenzor
Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda
Derivacija količnika
Derivacija složene funkcije
Implicitna diferencijacija
Taylorova teorema
Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala
Neodređeni integral
Određeni integral
Višestruki integral
Nepravi integrali
Parcijalna integracija
Integracija metodom substitucije
Trigonometrijska substitucija

U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

Pravilo[uredi - уреди]

Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo \int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b  f'(x) g(x)\,dx gdje koristimo standardne oznake

\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je

 f(b)g(b) - f(a)g(a)\, = \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx
=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx.

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\,dx,

ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

\int u\,dv = u v - \int v\,du.

Primjeri[uredi - уреди]

Kako bi izračunali

\int x\cos (x) \,dx

napišemo:

u = x, tako da je du = dx,
dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).

Zatim:


\begin{align}
  \int x\cos (x) \,dx & = \int u \,dv \\
  & = uv - \int v \,du \\
  & = x\sin (x) - \int \sin (x) \,dx \\
  & = x\sin (x) + \cos (x) + C
\end{align}

gdje je C arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

\int x^{3} \sin (x) \,dx \quad \mbox{and} \quad \int x^{2} e^{x} \,dx

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

\int e^{x} \cos (x) \,dx

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u = cos(x); thus du = -sin(x)dx
dv = exdx; thus v = ex

Zatim:

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + \int e^{x} \sin (x) \,dx

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integracijuz, sa:

u = sin(x); du = cos(x)dx
v = ex; dv = exdx

Zatim:

\int e^{x} \sin (x) \,dx = e^{x} \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

\int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} \cos (x) + e^x \sin (x) - \int e^{x} \cos (x) \,dx

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

2 \int e^{x} \cos (x) \,dx = e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) )
\int e^{x} \cos (x) \,dx = {e^{x} ( \sin (x) + \cos (x) ) \over 2}

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:

\int \ln (x) \cdot 1 \,dx

Napišimo:

u = ln(x); du = 1/x dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx
= x \ln (x) - \int 1 \,dx
\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - {x} + {C}
\int \ln (x) \,dx = x ( \ln (x) - 1 ) + C

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponov napišemo kao:

\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx

Napišimo:

u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

\int \arctan (x) \,dx = x \arctan (x) - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx
= x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

Više dimenzije[uredi - уреди]

Kulturološke reference[uredi - уреди]

Vanjski linkovi[uredi - уреди]