Pravilo derivacije složene funkcije

Izvor: Wikipedia
Oblasti u matematičkoj analizi

Fundamentalna teorema
Limes funkcije
Kontinuitet
Vektorska algebra
Tenzor
Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda
Derivacija količnika
Derivacija složene funkcije
Implicitna diferencijacija
Taylorova teorema
Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala
Neodređeni integral
Određeni integral
Višestruki integral
Nepravi integrali
Parcijalna integracija
Integracija metodom substitucije
Trigonometrijska substitucija

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

Definicija[uredi - уреди]

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

 (f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\,

koje se kraće piše u formi  (f \circ g)' = f'\circ g\cdot g'.

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}.

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Primjeri[uredi - уреди]

Primjer I[uredi - уреди]

Razmotrimo f(x) = (x^2 + 1)^3. Imamo f(x)=h(g(x)) gdje je g(x) = x^2 + 1 i h(x) = x^3. Zbog toga,

f '(x) \, = 3(x^2 + 1)^2(2x) \,
= 6x(x^2 + 1)^2. \,

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

f(x) = \sin(x^2),\,

možemo pisati f(x) = h(g(x)) sa h(x) = \sin x i g(x) = x^2. Tada dobijamo

f'(x) = 2x \cos(x^2) \,

pošto je h'(g(x)) = \cos (x^2) i g'(x) = 2x.

Primjer II[uredi - уреди]

Difercencirajmo \arctan\,\sin\, x, itd.

\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}
\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}
\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}

Također pogledajte[uredi - уреди]


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Pravilo derivacije složene funkcije koji govori o matematici je u začetku. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.