Mandelbrotov skup

Izvor: Wikipedia
Mandelbrotov skup

Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.

Konstrukcija[uredi - уреди]

Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrijednost c odgovara koordinati kompleksne ravnine na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.

Svojstva[uredi - уреди]

Osnovna[uredi - уреди]

Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravnini

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi |f^n_c(0)|\leq 2 za sve n\geq 0. Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost f^n_c(0) za neki n\geq 0 veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako \sqrt{6\pi -1} - e = 1.506591651 \ldots

Samosličnost[uredi - уреди]

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

Mandelzoom.jpg

Atraktori perioda-n[uredi - уреди]

Skupovi točaka konvergiraju onom broju vrijednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, n\in \mathbb{N}. Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-n ako iz njih "viri" n-1 "antena":

Mandel rays.jpg

Galerija uvećavanja[uredi - уреди]

Svaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.

Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg
Mandel zoom 01 head and shoulder.jpg
I
Mandel zoom 02 seehorse valley.jpg
II
Mandel zoom 03 seehorse.jpg
III
Mandel zoom 04 seehorse tail.jpg
IV
Mandel zoom 05 tail part.jpg
V
Mandel zoom 06 double hook.jpg
VI
Mandel zoom 07 satellite.jpg
VII
Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg
VIII
Mandel zoom 09 satellite head and shoulder.jpg
IX
Mandel zoom 10 satellite seehorse valley.jpg
X
Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg
XI
Mandel zoom 12 satellite spirally wheel with julia islands.jpg
XII
Mandel zoom 13 satellite seehorse tail with julia island.jpg
XII
Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg
XIV

Varijacije[uredi - уреди]

multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije f(z_{n-1})=z_n^b+c, b>2. Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vanjske veze[uredi - уреди]

Vidi još[uredi - уреди]