Arkus tangens
Osnovne osobine Parnost neparna Domen (-∞,∞) Kodomen (-π/2,π/2) Specifične vrednosti Nule 0 Vrednost u +∞ π/2 Vrednost u -∞ -π/2 Specifične osobine Asimptote y = ± π/2 Prevoji (0,0) Ulazak u nulu pod uglom π/4
Arkus tangens je funkcija inverzna funkciji tangensa na intervalu njenog domena [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla kada je poznata vrednost njegovog tangensa. Može se definisati sledećom formulom:
arctg
x
=
tan
−
1
x
=
i
2
(
log
(
1
−
i
x
)
−
log
(
i
x
+
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x=\tan ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log(1-ix)-\log(ix+1)\right)}
Slede neke od formula koje se vezuju za arkus tangens:
arctg
x
=
π
2
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x}
arctg
(
−
x
)
=
−
arctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} \;x\!}
arctg
1
x
=
π
2
−
arctg
x
=
arcctg
x
,
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=\operatorname {arcctg} \;x,\ }
x
>
0
{\displaystyle x>0}
arctg
1
x
=
−
π
2
−
arctg
x
=
−
π
+
arcctg
x
,
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=-\pi +\operatorname {arcctg} \;x,\ }
x
<
0
{\displaystyle x<0}
Preko formule za polovinu ugla se dobija i:
arctg
x
=
2
arctg
x
1
+
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x=2\operatorname {arctg} \;{\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
Izvod:
d
d
x
arctg
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} \;x{}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Predstavljanje u formi integrala:
arctg
x
=
∫
0
x
1
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} \;x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx}
Predstavljanje u formi beskonačne sume:
arctg
x
=
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
x
|
≤
1
x
≠
i
,
−
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctg} x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}}
