Zlatni rez

Zlatni presek (simbol: $\varphi$ ) je matematičko-strukturalni pojam kojeg se najčešće veže za umjetnost, jer je u istoriji umjetnosti najčešće korišten. To je način podjele neke vrijednosti s faktorom od približno 1.6.

Zlatni presek je kompozicijski zakon u kojem se manji dio prema većem odnosi kao veći dio prema ukupnom. U praksi, ako želimo podijeliti nešto na taj način, podijelimo ga na 13 jednakih dijelova i onda to podijelimo u omjeru 8:5, ili ga pak podijelimo na 21 jednaki dio pa to onda u omjeru 13:8, itd. Na što se više dijelova podjeli, to smo bliži točnom zlatnom preseku, ali do tačnog zlatnog preseka nikada se ne dolazi jer je taj broj zapravo aproksimacija, a matematička formula glasi mu:

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618\,033\,989\,.

Teorija zlatnog preseka započeta je još u antici, a svoj procvat imala je u renesansi, kada su umjetnici i matematičari (ali i fizičari i astrolozi) tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura. Nakon mnogo stoljeća teorije smatra se da je zlatni presek najsavršeniji presek u prirodi, potpuno savršen ljudskom oku, harmonija između linearne, nepodnošljive preciznosti i nepravilne, netočne nesavršenosti.

U Italiji postoji mnogo primjera crkvi i dvoraca u toj kompoziciji. Također, na savršenom ljudskom tijelu sve je u odnosu 1:1.618.

Istorija

Teorija zlatnog reza započeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematičari, fizičari i astrolozi tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.

Herodot (484. - 424. pne) „Jedan egipatski svećenik govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog trougla“

$v={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi }}$

$b={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi +2}}$

$\alpha =arctg{\sqrt {\varphi }}$

$\beta =arctg{\sqrt {\frac {\varphi }{2}}}$

Grčki kipar Fidije u V vijeku pne.. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.

Platon (grčki filozof, V. i IV. vijek pne.) u „Timoteju“ opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao osnovu harmonične strukture svijeta. Zlatni rez igra ključnu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.

Pitagorejci (oko 500. god.pne.) dolaze do jednog od najvažnijih otkrića u matematici: - dijagonala i stranica kvadrata ( pravilnog peteugla) su nesamjerljive

${\frac {d}{a_{5}}}=\varphi$

Grčki matematičar Euklid prvi je ovaj broj uočio i matematički izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu „Elementi“ u kojoj navodi prvu zabilježenu definiciju zlatnog reza.

Datu dužinu podijeliti tako da pravougaonik obuhvaćen cijelom dužinom i jednim odsječkom,bude jednak kvadratu na drugom odsječku.

$a(a-x)=x^{2}$

$x^{2}+ax-a^{2}=0$

$x={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}a$

Vijek pne sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marcus Vitruvius Polio u svom djelu „De architectura libri decem“ ili „Deset knjiga o arhitekturi“, posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije upoređuje s razmjerima čovječjeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kružnicu, što je kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci

Fra Luca Pacioli (1446. - 1510.) štampao je u Veneciji 1509. djelo ”De divina proportione” koje je imalo veliki uticaj i nakon kojeg zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijske osobine “božanske razmjere". Knjigu je ilustrirao Leonardo da Vinci.

Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine Elementar -Mathematik ( Čista elementarna matematika ) prvi put koristi termin zlatni rez.

Oznaku $\varphi$ je 1909. g. predložio američki matematičar Mark Barr u čast slavnom starogrčkom kiparu Fidiji (Phidias 480. -430.pne )

Izračunavanje

Spisak brojeva γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binarni	1.1001111000110111011...
Decimalni	1,6180339887498948482...
Heksadecimalni	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Neprekidni razlomak	$1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$
Algebarski oblik	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$