Skalarni proizvod vektora

Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je sledeći:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:

$(u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w$

$(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$

$u\cdot v=v\cdot u$

$u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0$

Pri čemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj.

Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora

Skalarni proizvod vektora ${\vec {x}}$ i ${\vec {y}}$ se definiše na sledeći način:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}$

Pri tom su $|{\vec {x}}|$ i $|{\vec {y}}|$ intenziteti tih vektora, određenih sledećim koordinatama:

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$ i ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})$

Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:

${\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$

Dokaz

Formula :${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)$ se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:

Ako je $\gamma$, ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Pošto je ${\vec {c}}$ jednak ${\vec {b}}-{\vec {a}}$, sledi:

$|{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Odakle se nalazi:

$\left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

${\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }$

Odatle se dobija konačna formula:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.$

Ortogonalni vektori

Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori ${\vec {x}}$ i ${\vec {y}}$ uzajamno normalni dobija se:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$.

Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.

Osobine

Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:

• komutativnost

${{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}$

• distributivan je u odnosu na sabiranje

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

• u opštem slučaju nije asocijativan
• za njega važi sledeće:

$(\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora

Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.

Pošto je:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.$

Za specijalan slučaj kada je ${\vec {x}}={\vec {y}}$ jednakost prelazi u: ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}$

Na osnovu toga se zaključuje:

$|{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.$

Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.

Primena u fizici

Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj. Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja:

$A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha$

Geometrijska interpretacija

Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).$

Povezano

• Vektor
• Skalar
• Vektorski proizvod vektora
• Mešoviti proizvod vektora

Literatura

• Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd