Simetrija

Simetrija je preslikavanje figura u geometriji.

Simetrijom se naziva i osobina simetričnosti figure u odnosu na pravu (osu), tačku (centar), ili ravan, tj. svojstvo geometrijske figure da ima osu simetrije, centar simetrije, ili ravan simetrije.

Osna simetrija

Osna simetrija je geometrijsko preslikavanje tačaka $\sigma _{l}:A\to A'$ , takvo da je duž $AA'$ , koja spaja lik i sliku, okomita na datu pravu l, osu simetrije, i da je $AS=SA$ , gde je S tačka presjeka duži $AA'$ i prave l.

Posebno (v. Prof. V.A.Ditkin, Rječnik matematičkih termina, Prosvešćenje, Moskva, 1965.), za simetriju u odnosu na pravu l koja leži u nekoj ravni π možemo reći da je to takva transformacija tačaka ove ravni u istu ravan pri kojoj svaka tačka A prelazi u tačku A' simetričnu s prvom tačkom u odnosu na pravu (slika desno). Prava l se naziva osa simetrije, a simetrija u odnosu na pravu osna simetrija, refleksija, ili ogledanje na pravoj.

Osna simetrija je bijekcija, a također i involuciona transformacija. U osnoj simetriji dužina segmenta ostaje nepromjenjena (invarijantna), orjentacija figure se mijenja u suprotnu, pa je, osna simetrija kretanje druge vrste. Osna simetrija prave transformiše u prave, pri čemu se prave normalne na osu simetrije transformišu u samu sebe, a osa ostaje nepokretna, i to punktualno nepokretna (punktualno invarijantna): svaka njena tačka je dvostruka tačka.

Osna simetrija se koristi u rješavanju zadataka iz geometrijskih konstrukcija, u crtanju grafika parne funkcije, u arhitekturi, u kristalografiji, u dizajniranju tkanina, itd. Proizvod (kompozicija preslikavanja) dvije osne simetrije s paralelnim osima je paralelno prenošenje (translacija), proizvod dvije osne simetrije čije se ose sijeku nije simetrija ni u odnosu na prvu ni u odnosu na drugu osnu simetriju, dakle, množina simetrija u ravni u odnosu na date ose nije zatvorena, odnosno, skup svih osnih simetrija u ravni nije grupa.

Centralna simetrija

Centralna simetrija je geometrijsko preslikavanje tačaka $\sigma _{O}:A\to A'$ , takvo da je $AO=OA',\;A-O-A',$ , pri čemu je O data nepokretna (fiksna) tačka.

Posebno, simetrija u odnosu na tačku O koja leži u nekoj ravni π je takva transformacija tačaka ove ravni pri kojoj svaka tačka A prelazi u tačku A' simetričnu njoj u odnosu na tačku O. Tačka O se onda naziva centar simetrije, a simetrija u odnosu na tačku centralna simetrija.

Centralna simetrija je bijekcija, involucija i rotacija u ravni za ugao 180 stepeni. Obje, centralna i osna simetrija se primjenjuju u sličnim oblastima.

Proizvod, kompozicija centralnih simetrija je translacija.