Oduzimanje

Oduzimanje je jedna od četiri osnovnih aritmetičkih operacija. Oduzimanje je suprotno od zbrajanja, što znači ako broju, recimo x, dodamo y i od dobivenog broja oduzmemo y ponovno ćemo dobiti x. Oduzimanje označujemo znakom minusa u infiksnoj notaciji.

Za oduzimanje ne vrijedi komutativnost pa dajemo imena članovima. Uobičajna imena su umanjenik, umanjitelj i razlika. U jednadžbi a - b = c, a je umanjenik, b umanjitelj, a c razlika.

Osnovno oduzimanje: cijeli brojevi

Zamislimo dužinu duljine b gdje je lijevi kraj označen sa slovom a, a desni kraj slovom c. Počevši od a, potrebno je b koraka udesno da dođemo do c. Ovakva kretnja se može matematički opisati zbrajanja:

a + b = c

Od c je potrebno b koraka ulijevo da se vratimo do a. Ovakva kretnja se može matematički opisati oduzimanjem:

c - b = a

Sad zamislimo dužinu označenu sa brojevima 1,2 i 3. Od položaja 3, nisu potrebni koraci ulijevo da se ostane na 3, dakle 3 - 0 = 3. Potrebna su dva koraka ulijevo da se dođe do položaja 1, dakle 3 - 2 = 1. Slika je neodgovarajuća da se prikaže što bi se dogodilo nakon 3 koraka ulijevo. Da bi se to prikazalo potrebno je produžiti dužinu.

Za oduzimanje prirodnih brojeva potrebno je početi sa polupravcem koji sadrži sve prirodne brojeve(0,1,2,3,4,5, ...). Od 3, potrebno je napraviti 3 koraka ulijevo da se dođe na 0, dakle 3 - 3 = 0. Ali, 3 - 4 nije moguće prikazati jer prelazi polupravac.

Rješenje je pravac sa cijelim brojevima(..., -3, -2, -1,0,1, 2, 3, ...). Od 3, potrebno je 4 koraka ulijevo da se dođe do -1:

3 - 4 = -1

Oduzimanje kao zbrajanje

Postoje slučajevi gdje oduzimanje kao zasebna operacija postaje problematična. Primjerice, 3 - (-2) (oduzimanje -2 od 3) nije odmah očito na brojevnom pravcu jer nam nije odmah jasno što znači pomaknuti se -2 koraka ulijevo. Jedno rješenje je prikazati oduzimanje kao zbrajanje. Dodatan znak minusa označuje inverziju zbrajanja. Tada imamo 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.

Komutativnost i asocijativnost

Ne važi komutativnost

$a-b=a+(-b)=(-b)+a=-(b-a)$

Ne važi asocijativnost

$(a-b)-c\neq a-(b-c)$

Načini oduzimanja sa potpisivanjem

Austrijska metoda

• 
  $1+...=3$
• 
  $3-1=2$
• 
  $9+...=5$
• 

• 
  $9+...=15$
• 
  $(4+1)+...=7$
• 
• 

Oduzimanje s lijeva na desno

• 
  $7-4=3$
• 
• 
  $15-9=6$
• 
• 
  $(3-1=2$

Američka metoda

• 
  $3-1=...$
• 
• 
  $5-9=...$
• 
• 
  $15-9=...$

• 
  $6-4$
• 
• 

Još jedan način ovog oduzimanja

• 
  $1-3$
• 
  $4-9$
• 
  $11-3=8$
• 
  $14-9=5$
• 
  $6-7=2$

Djelimična razlika

• 
  $700-400=300$
• 
  $90-50=40$
• 
  $3-1=2$
• 
  $300-40+2$

Oduzimanje bez potpisivanja

Brojanje do

$1234-567=$

$567+3=570$

$570+30=600$

$600+400=1000$

$1000+234=1234$

$3+30+400+234=667$

Razbijanjem umanjioca

$1234-500=734$

$734-60=674$

$674-7=667$

Jednaka promjena

Dodavanjem ili oduzimanjem istog broja umanjeniku i umanjiocu rezultat se ne mijenje.

$1234-567=1237-570=1267-600=667$

Izvori

• Browell, W. A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press. (en)
• Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) http://math.coe.uga.edu/TME/Issues/v10n2/5ross.pdf (en)

Oduzimanje na Wikimedijinoj ostavi